IME / ITA ⇒ IME 2012-2013) Geometria Plana Tópico resolvido

[careca]

Seja um triângulo ABC. AH é a altura relativa de BC, com H localizado entre B e C. Seja BM a mediana relativa de AC.
Sabendo que BH = AM = 4, a soma dos possíveis valores inteiros de BM é:

A) 11

B) 13

C) 18

D) 21

E) 26

Resposta

---

GABARITO = B

[A13235378]

Olá:

Sem título.png (26.41 KiB) Exibido 2961 vezes

Se liga na construçao:

Como HM é a mediana do triangulo retangulo AHC relativa a hipotenusa , existe uma propriedade que diz que:

A mediana é igual aos lados formados por essa ceviana , ou seja AM=CM=HM=4

Logo analisaremos o triangulo BHM:

O angulo H é obtuso, pois é maior que 90 graus, logo pela lei dos cossenos:

[tex3]BM^{2}=16+16 -2cos\theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BM^{2}=16+16 -2cos\theta [/tex3]

Como [tex3]\theta >90[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta >90[/tex3]

, temos que

[tex3]BM^{2}=16+16 +2cos(180-\theta) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BM^{2}=16+16 +2cos(180-\theta) [/tex3]

[tex3]BM^{2}>32[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BM^{2}>32[/tex3]

Pela desigualdade triangular:

BM < 8 cm

[tex3]BM^{2}<64[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BM^{2}<64[/tex3]

Logo:

32 < BM^2 < 64

BM = 6 ou BM =7

6+7 =13