IME / ITA ⇒ (Escola naval - 2010) Trigonometria Tópico resolvido

[JohnnyEN]

Sejam [tex3]A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A[/tex3]

e [tex3]B[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B[/tex3]

conjuntos de números reais tais que seus elementos constituem, respectivamente, o domínio da função [tex3]F(x) = \sqrt[]{\frac{-1 + 2\sen x}{1+ 2senx}}[/tex3]

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[tex3]F(x) = \sqrt[]{\frac{-1 + 2\sen x}{1+ 2senx}}[/tex3]

no universo [tex3][0,2\pi ][/tex3]

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[tex3][0,2\pi ][/tex3]

e o conjunto solução da inequação [tex3]\frac{1}{cossecx}-\frac{1}{secx}>0[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{cossecx}-\frac{1}{secx}>0[/tex3]

para com [tex3]0< x<\pi [/tex3]

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[tex3]0< x<\pi [/tex3]

com [tex3]x\neq \frac{\pi }{2}[/tex3]

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[tex3]x\neq \frac{\pi }{2}[/tex3]

. Pode-se afirmar que [tex3]B - A[/tex3]

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[tex3]B - A[/tex3]

é igual a

A) [tex3]\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right[ U \left[\frac{5\pi }{4},\frac{11\pi }{6}\right[[/tex3]

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[tex3]\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right[ U \left[\frac{5\pi }{4},\frac{11\pi }{6}\right[[/tex3]

B) [tex3]\left]\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right][/tex3]

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[tex3]\left]\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right][/tex3]

C) [tex3]\emptyset [/tex3]

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[tex3]\emptyset [/tex3]

D) [tex3]\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right[ U \left]\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}\right[[/tex3]

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[tex3]\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right[ U \left]\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}\right[[/tex3]

E) [tex3]\left]\frac{5\pi }{6},\pi \right[[/tex3]

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[tex3]\left]\frac{5\pi }{6},\pi \right[[/tex3]

Resposta

---

GAB: E

[TakeMeDown]

JohnnyEN,

[tex3]A[/tex3]

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[tex3]A[/tex3]

será dado por:

[tex3]\frac{-1 + 2\sen x}{1+ 2senx}\ge0[/tex3]

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[tex3]\frac{-1 + 2\sen x}{1+ 2senx}\ge0[/tex3]

e [tex3]1+ 2senx\ne0[/tex3]

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[tex3]1+ 2senx\ne0[/tex3]

.

---> [tex3]\frac{-1 + 2\sen x}{1+ 2senx}=\frac{-2+1+2\sen x}{1+ 2senx}=1-\frac{2}{1+ 2senx}[/tex3]

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[tex3]\frac{-1 + 2\sen x}{1+ 2senx}=\frac{-2+1+2\sen x}{1+ 2senx}=1-\frac{2}{1+ 2senx}[/tex3]

---> [tex3]\frac{2}{1+ 2senx}\le1[/tex3]

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[tex3]\frac{2}{1+ 2senx}\le1[/tex3]

Caso [tex3]1+2senx>0\rightarrow senx>-\frac{1}2[/tex3]

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[tex3]1+2senx>0\rightarrow senx>-\frac{1}2[/tex3]

, temos que [tex3]2\le1+ 2senx\rightarrow senx\ge\frac{1}2[/tex3]

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[tex3]2\le1+ 2senx\rightarrow senx\ge\frac{1}2[/tex3]

. Logo, [tex3]senx\ge\frac{1}2\rightarrow x\in\left[\frac{\pi}6,\frac{5\pi}6\right][/tex3]

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[tex3]senx\ge\frac{1}2\rightarrow x\in\left[\frac{\pi}6,\frac{5\pi}6\right][/tex3]

.

Caso [tex3]1+2senx<0\rightarrow senx<-\frac{1}2[/tex3]

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[tex3]1+2senx<0\rightarrow senx<-\frac{1}2[/tex3]

, temos que [tex3]2\ge1+ 2senx\rightarrow senx\le\frac{1}2[/tex3]

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[tex3]2\ge1+ 2senx\rightarrow senx\le\frac{1}2[/tex3]

. Logo, [tex3]senx<-\frac{1}2\rightarrow x\in\left]\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6\right[[/tex3]

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[tex3]senx<-\frac{1}2\rightarrow x\in\left]\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6\right[[/tex3]

.

Portanto, [tex3]A=\left[\frac{\pi}6,\frac{5\pi}6\right]\cup\left]\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6\right[[/tex3]

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[tex3]A=\left[\frac{\pi}6,\frac{5\pi}6\right]\cup\left]\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6\right[[/tex3]

.

[tex3]B[/tex3]

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[tex3]B[/tex3]

será dado por:

[tex3]senx-cosx>0[/tex3]

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[tex3]senx-cosx>0[/tex3]

e [tex3]0< x<\pi[/tex3]

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[tex3]0< x<\pi[/tex3]

, com [tex3]x\neq \frac{\pi }{2}[/tex3]

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[tex3]x\neq \frac{\pi }{2}[/tex3]

.

Caso [tex3]\frac{\pi}2< x<\pi[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}2< x<\pi[/tex3]

, temos [tex3]cosx<0[/tex3]

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[tex3]cosx<0[/tex3]

e [tex3]senx>0[/tex3]

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[tex3]senx>0[/tex3]

. Logo, [tex3]x\in\left]\frac{\pi}2,\pi\right[[/tex3]

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[tex3]x\in\left]\frac{\pi}2,\pi\right[[/tex3]

.

Caso [tex3]0< x<\frac{\pi}2[/tex3]

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[tex3]0< x<\frac{\pi}2[/tex3]

, temos [tex3]cosx>0[/tex3]

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[tex3]cosx>0[/tex3]

e [tex3]senx>0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]senx>0[/tex3]

. Logo, [tex3]senx>cosx\rightarrow tgx>1\rightarrow x\in\left]\frac{\pi}4,\frac{\pi}2\right[[/tex3]

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[tex3]senx>cosx\rightarrow tgx>1\rightarrow x\in\left]\frac{\pi}4,\frac{\pi}2\right[[/tex3]

.

Portanto, [tex3]B=\left]\frac{\pi}4,\frac{\pi}2\right[\cup\left]\frac{\pi}2,\pi\right[[/tex3]

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[tex3]B=\left]\frac{\pi}4,\frac{\pi}2\right[\cup\left]\frac{\pi}2,\pi\right[[/tex3]

.

---> [tex3]B-A=\left]\frac{\pi}4,\frac{\pi}2\right[\cup\left]\frac{\pi}2,\pi\right[-\left[\frac{\pi}6,\frac{5\pi}6\right]\cup\left]\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6\right[=\left]\frac{5\pi}6,\pi\right[[/tex3]

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[tex3]B-A=\left]\frac{\pi}4,\frac{\pi}2\right[\cup\left]\frac{\pi}2,\pi\right[-\left[\frac{\pi}6,\frac{5\pi}6\right]\cup\left]\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6\right[=\left]\frac{5\pi}6,\pi\right[[/tex3]

.

Abs

[AnthonyC]

Só uma correção, no caso de [tex3]A[/tex3]

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[tex3]A[/tex3]

deveria ser:
[tex3]\frac{-1 + 2\sen x}{1+ 2senx}\ge0[/tex3]

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[tex3]\frac{-1 + 2\sen x}{1+ 2senx}\ge0[/tex3]

Por que uma raiz está definida em 0. Isso fará com que o conjunto seja [tex3]A=\left[\frac{\pi}6,\frac{5\pi}6\right]\cup\left]\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6\right[[/tex3]

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[tex3]A=\left[\frac{\pi}6,\frac{5\pi}6\right]\cup\left]\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6\right[[/tex3]

Mas a resposta final é a mesma, por que eu quero intervalos de [tex3]B[/tex3]

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[tex3]B[/tex3]

que não estão em [tex3]A[/tex3]

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[tex3]A[/tex3]

, então ainda preciso excluir o caso [tex3]x={5\pi\over6}[/tex3]

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[tex3]x={5\pi\over6}[/tex3]

.

[TakeMeDown]

AnthonyC,

Perfeito!

Abs

[EzequielSilva]

Estou com uma dúvida, eu não poderia analisar separadamente a equação do numerador e a equação do denominador?
Por exemplo, fazer para o numerador: [tex3]-1+2senx\geq 0[/tex3]

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[tex3]-1+2senx\geq 0[/tex3]

[tex3]\rightarrow [/tex3]

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[tex3]\rightarrow [/tex3]

[tex3]senx\geq 1/2[/tex3]

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[tex3]senx\geq 1/2[/tex3]

[tex3]\rightarrow [/tex3]

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[tex3]\rightarrow [/tex3]

[tex3][\pi /6 , 5\pi /6][/tex3]

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[tex3][\pi /6 , 5\pi /6][/tex3]

E fazendo para o denominador: [tex3]1+2senx>0[/tex3]

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[tex3]1+2senx>0[/tex3]

[tex3]\rightarrow [/tex3]

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[tex3]\rightarrow [/tex3]

[tex3]senx>-1/2[/tex3]

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[tex3]senx>-1/2[/tex3]

[tex3]\rightarrow [/tex3]

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[tex3]\rightarrow [/tex3]

[tex3]]7\pi /6 , 11\pi /6[[/tex3]

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[tex3]]7\pi /6 , 11\pi /6[[/tex3]

Só que fazendo isso vi que a parte do denominador deu diferente da resolução, pois ao fazer a união dos intervalos ficaria [tex3]]7\pi /6, 11\pi /6[[/tex3]

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[tex3]]7\pi /6, 11\pi /6[[/tex3]