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(Escola naval - 2010) Trigonometria
Enviado: Qua 09 Set, 2020 13:10
por JohnnyEN
Sejam [tex3]A[/tex3]
e [tex3]B[/tex3]
conjuntos de números reais tais que seus elementos constituem, respectivamente, o domínio da função [tex3]F(x) = \sqrt[]{\frac{-1 + 2\sen x}{1+ 2senx}}[/tex3]
no universo [tex3][0,2\pi ][/tex3]
e o conjunto solução da inequação [tex3]\frac{1}{cossecx}-\frac{1}{secx}>0[/tex3]
para com [tex3]0< x<\pi [/tex3]
com [tex3]x\neq \frac{\pi }{2}[/tex3]
. Pode-se afirmar que [tex3]B - A[/tex3]
é igual a
A) [tex3]\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right[ U \left[\frac{5\pi }{4},\frac{11\pi }{6}\right[[/tex3]
B) [tex3]\left]\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right][/tex3]
C) [tex3]\emptyset [/tex3]
D) [tex3]\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right[ U \left]\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}\right[[/tex3]
E) [tex3]\left]\frac{5\pi }{6},\pi \right[[/tex3]
Re: (Escola naval - 2010) Trigonometria
Enviado: Qui 10 Set, 2020 03:45
por TakeMeDown
JohnnyEN,
[tex3]A[/tex3]
será dado por:
[tex3]\frac{-1 + 2\sen x}{1+ 2senx}\ge0[/tex3]
e [tex3]1+ 2senx\ne0[/tex3]
.
---> [tex3]\frac{-1 + 2\sen x}{1+ 2senx}=\frac{-2+1+2\sen x}{1+ 2senx}=1-\frac{2}{1+ 2senx}[/tex3]
---> [tex3]\frac{2}{1+ 2senx}\le1[/tex3]
Caso [tex3]1+2senx>0\rightarrow senx>-\frac{1}2[/tex3]
, temos que [tex3]2\le1+ 2senx\rightarrow senx\ge\frac{1}2[/tex3]
. Logo, [tex3]senx\ge\frac{1}2\rightarrow x\in\left[\frac{\pi}6,\frac{5\pi}6\right][/tex3]
.
Caso [tex3]1+2senx<0\rightarrow senx<-\frac{1}2[/tex3]
, temos que [tex3]2\ge1+ 2senx\rightarrow senx\le\frac{1}2[/tex3]
. Logo, [tex3]senx<-\frac{1}2\rightarrow x\in\left]\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6\right[[/tex3]
.
Portanto, [tex3]A=\left[\frac{\pi}6,\frac{5\pi}6\right]\cup\left]\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6\right[[/tex3]
.
[tex3]B[/tex3]
será dado por:
[tex3]senx-cosx>0[/tex3]
e [tex3]0< x<\pi[/tex3]
, com [tex3]x\neq \frac{\pi }{2}[/tex3]
.
Caso [tex3]\frac{\pi}2< x<\pi[/tex3]
, temos [tex3]cosx<0[/tex3]
e [tex3]senx>0[/tex3]
. Logo, [tex3]x\in\left]\frac{\pi}2,\pi\right[[/tex3]
.
Caso [tex3]0< x<\frac{\pi}2[/tex3]
, temos [tex3]cosx>0[/tex3]
e [tex3]senx>0[/tex3]
. Logo, [tex3]senx>cosx\rightarrow tgx>1\rightarrow x\in\left]\frac{\pi}4,\frac{\pi}2\right[[/tex3]
.
Portanto, [tex3]B=\left]\frac{\pi}4,\frac{\pi}2\right[\cup\left]\frac{\pi}2,\pi\right[[/tex3]
.
---> [tex3]B-A=\left]\frac{\pi}4,\frac{\pi}2\right[\cup\left]\frac{\pi}2,\pi\right[-\left[\frac{\pi}6,\frac{5\pi}6\right]\cup\left]\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6\right[=\left]\frac{5\pi}6,\pi\right[[/tex3]
.
Abs
Re: (Escola naval - 2010) Trigonometria
Enviado: Qui 10 Set, 2020 16:57
por AnthonyC
Só uma correção, no caso de [tex3]A[/tex3]
deveria ser:
[tex3]\frac{-1 + 2\sen x}{1+ 2senx}\ge0[/tex3]
Por que uma raiz está definida em 0. Isso fará com que o conjunto seja [tex3]A=\left[\frac{\pi}6,\frac{5\pi}6\right]\cup\left]\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6\right[[/tex3]
Mas a resposta final é a mesma, por que eu quero intervalos de [tex3]B[/tex3]
que não estão em [tex3]A[/tex3]
, então ainda preciso excluir o caso [tex3]x={5\pi\over6}[/tex3]
.
Re: (Escola naval - 2010) Trigonometria
Enviado: Qui 10 Set, 2020 17:31
por TakeMeDown
AnthonyC,
Perfeito!
Abs
Re: (Escola naval - 2010) Trigonometria
Enviado: Sex 21 Abr, 2023 09:59
por EzequielSilva
Estou com uma dúvida, eu não poderia analisar separadamente a equação do numerador e a equação do denominador?
Por exemplo, fazer para o numerador: [tex3]-1+2senx\geq 0[/tex3]
[tex3]\rightarrow [/tex3]
[tex3]senx\geq 1/2[/tex3]
[tex3]\rightarrow [/tex3]
[tex3][\pi /6 , 5\pi /6][/tex3]
E fazendo para o denominador: [tex3]1+2senx>0[/tex3]
[tex3]\rightarrow [/tex3]
[tex3]senx>-1/2[/tex3]
[tex3]\rightarrow [/tex3]
[tex3]]7\pi /6 , 11\pi /6[[/tex3]
Só que fazendo isso vi que a parte do denominador deu diferente da resolução, pois ao fazer a união dos intervalos ficaria [tex3]]7\pi /6, 11\pi /6[[/tex3]