IME / ITA(Escola naval - 2010) Trigonometria Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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JohnnyEN
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(Escola naval - 2010) Trigonometria

Mensagem não lida por JohnnyEN »

Sejam [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] conjuntos de números reais tais que seus elementos constituem, respectivamente, o domínio da função [tex3]F(x) = \sqrt[]{\frac{-1 + 2\sen x}{1+ 2senx}}[/tex3] no universo [tex3][0,2\pi ][/tex3] e o conjunto solução da inequação [tex3] \frac{1}{cossecx}-\frac{1}{secx}>0[/tex3] para com[tex3]0< x<\pi [/tex3] com [tex3]x\neq \frac{\pi }{2}[/tex3] . Pode-se afirmar que [tex3]B - A[/tex3] é igual a

A) [tex3]\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right[ U \left[\frac{5\pi }{4},\frac{11\pi }{6}\right[[/tex3]
B) [tex3] \left]\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right][/tex3]
C) [tex3]\emptyset [/tex3]
D) [tex3]\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right[ U \left]\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}\right[[/tex3]
E) [tex3] \left]\frac{5\pi }{6},\pi \right[[/tex3]
Resposta

GAB: E




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TakeMeDown
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Re: (Escola naval - 2010) Trigonometria

Mensagem não lida por TakeMeDown »

JohnnyEN,

[tex3]A[/tex3] será dado por:

[tex3]\frac{-1 + 2\sen x}{1+ 2senx}\ge0[/tex3] e [tex3]1+ 2senx\ne0[/tex3] .

---> [tex3]\frac{-1 + 2\sen x}{1+ 2senx}=\frac{-2+1+2\sen x}{1+ 2senx}=1-\frac{2}{1+ 2senx}[/tex3]

---> [tex3]\frac{2}{1+ 2senx}\le1[/tex3]

Caso [tex3]1+2senx>0\rightarrow senx>-\frac{1}2[/tex3] , temos que [tex3]2\le1+ 2senx\rightarrow senx\ge\frac{1}2[/tex3] . Logo, [tex3]senx\ge\frac{1}2\rightarrow x\in\left[\frac{\pi}6,\frac{5\pi}6\right][/tex3] .

Caso [tex3]1+2senx<0\rightarrow senx<-\frac{1}2[/tex3] , temos que [tex3]2\ge1+ 2senx\rightarrow senx\le\frac{1}2[/tex3] . Logo, [tex3]senx<-\frac{1}2\rightarrow x\in\left]\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6\right[[/tex3] .

Portanto, [tex3]A=\left[\frac{\pi}6,\frac{5\pi}6\right]\cup\left]\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6\right[[/tex3] .

[tex3]B[/tex3] será dado por:

[tex3] senx-cosx>0[/tex3] e [tex3]0< x<\pi[/tex3] , com [tex3]x\neq \frac{\pi }{2}[/tex3] .

Caso [tex3]\frac{\pi}2< x<\pi[/tex3] , temos [tex3]cosx<0[/tex3] e [tex3]senx>0[/tex3] . Logo, [tex3]x\in\left]\frac{\pi}2,\pi\right[[/tex3] .

Caso [tex3]0< x<\frac{\pi}2[/tex3] , temos [tex3]cosx>0[/tex3] e [tex3]senx>0[/tex3] . Logo, [tex3]senx>cosx\rightarrow tgx>1\rightarrow x\in\left]\frac{\pi}4,\frac{\pi}2\right[[/tex3] .

Portanto, [tex3]B=\left]\frac{\pi}4,\frac{\pi}2\right[\cup\left]\frac{\pi}2,\pi\right[[/tex3] .

---> [tex3]B-A=\left]\frac{\pi}4,\frac{\pi}2\right[\cup\left]\frac{\pi}2,\pi\right[-\left[\frac{\pi}6,\frac{5\pi}6\right]\cup\left]\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6\right[=\left]\frac{5\pi}6,\pi\right[[/tex3] .

Abs

Última edição: TakeMeDown (Qui 10 Set, 2020 17:55). Total de 2 vezes.


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AnthonyC
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Re: (Escola naval - 2010) Trigonometria

Mensagem não lida por AnthonyC »

Só uma correção, no caso de [tex3]A[/tex3] deveria ser:
[tex3]\frac{-1 + 2\sen x}{1+ 2senx}\ge0[/tex3]
Por que uma raiz está definida em 0. Isso fará com que o conjunto seja [tex3]A=\left[\frac{\pi}6,\frac{5\pi}6\right]\cup\left]\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6\right[[/tex3]

Mas a resposta final é a mesma, por que eu quero intervalos de [tex3]B[/tex3] que não estão em [tex3]A[/tex3] , então ainda preciso excluir o caso [tex3]x={5\pi\over6}[/tex3] .


[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]

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TakeMeDown
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Re: (Escola naval - 2010) Trigonometria

Mensagem não lida por TakeMeDown »

AnthonyC,

Perfeito!

Abs



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