[tex3]\sen 3x + \sen 5x = \cos 2x – \cos 6x\\[/tex3]
usando as formulas para transformação de soma em produto
[tex3]2\sen (\frac{3x+5x}{2})\cos(\frac{5x-3x}{2})=-(\cos 6x -\cos 2x)\\[/tex3]
[tex3]2\sen 4x\cos x = -(-2\sen4x\sen2x)\\[/tex3]
[tex3]\sen4x\cos x = \sen4x\sen2x[/tex3]
agora se sen4x = 0 a nossa equação se verifica
[tex3]\sen4x=0[/tex3]
tem soluções 180º, 360º e seus arcos côngruos
[tex3]4x = k\pi\\
x = \frac{k\pi}{4}[/tex3]
agora suponha sen 4x diferente de 0, com é diferente de 0 podemos dividir ambos os lados por sen 4x
[tex3]\cos x = \sen2x[/tex3]
usando o seno do arco duplo
[tex3]\cos x = 2\sen x \cos x[/tex3]
[tex3]0 = 2\sen x\cos x - \cos x[/tex3]
[tex3]0 = \cos x(2sen x-1)[/tex3]
ai temos agora cos x = 0 que acontece em 90º e 270º e seus arcos côngruos
[tex3]x = \frac{\pi}{2}+k\pi[/tex3]
agora vamos ter [tex3]2\sen x = 1[/tex3]
[tex3]\sen x = \frac{1}{2}[/tex3]
que acontece em 30º e 150º e nos arcos côngruos a um desses
[tex3]x=\frac{\pi}{6}+k\pi[/tex3]
ou
[tex3]x=\frac{5\pi}{6}+k\pi[/tex3]
juntando todas as soluções
[tex3]x=\frac{5\pi}{6}+k\pi[/tex3]
ou [tex3]x=\frac{\pi}{6}+k\pi[/tex3]
ou [tex3]x = \frac{\pi}{2}+k\pi[/tex3]
ou ainda
[tex3]x = \frac{k\pi}{4}[/tex3]
e novamente n está no gabarito, n dessa forma pelo menos
acho que seja a letra A, vamos ver o [tex3]x = \frac{k\pi}{4}[/tex3]
ja está la de forma explicita, vamos ver os outros, o [tex3]x = \frac{\pi}{2}+k\pi=\frac{\pi+k\pi}{2}=\frac{\pi(k+1)}{2}[/tex3]
tbm está la
so que vc vai ter que tomar um k maior porem ainda assim vai chegar em [tex3]x = \frac{\pi}{2}+k\pi[/tex3]
agora os mais difíceis
[tex3]x=\frac{5\pi}{6}+k\pi=\frac{5\pi+6k\pi}{6}=\frac{\pi(5+6k)}{6}[/tex3]
vou chamar o meu k de k_1 e o k do gabarito de k_2
vou supor primeiro que k_2 é impar para poder ficar com o 1 negativo
[tex3]\frac{\pi(5+6k_1)}{6}=\frac{6k_2\pi-\pi}{6}\\
5+6k_1=6k_2-1\\
6+6k_1=6k_2\\
1 +k_1=k_2[/tex3]
mas como ja tinha dito k_2 é impar logo k_2 = 2y+1
[tex3]1+k_1=2y+1\\
k_1=2y[/tex3]
mas isso me restringe a k_1 par
vamos ver k_2 par
[tex3]\frac{\pi}{6}+k_1\pi=k_2\pi+\frac{\pi}{6}\\
k_1=k_2[/tex3]
k_1=2z
[tex3]k_1=2z[/tex3]
e novamente k_1 deve ser par
então fica faltando as soluções onde k_1 é impar
um exemplo de um angulo que a letra a) falha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=p ... 5Ek*pi%2F6
os outros vc pode conferir e todos falham (da um k racional)
na letra d) tenta o angulo de 90º
na letra c) o angulo de 150º
e na letra b) o angulo de 180º
se quiser conferir se esses ângulos que eu sitei entram na solução mesmo, pega a expressão original e coloca no wolfram com esses ângulos acima
