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Considere S, a soma das raízes da equação trigonométrica [tex3]4 sen^{3}x -5 sen x - 4cos^{3}x + 5 cosx = 0 [/tex3] no intervalo [tex3] [0, \frac{\pi }{2}][/tex3] qual o valor de [tex3]\tan S + cossec2S[/tex3] ?

A) 2
B) 1
C) 0
D) -1
E) -2

Resposta

GAB: E

[tex3]4 (sen^{3}x-cos^3x) = 5 (sen x - cosx) [/tex3]
[tex3]4 (senx-cosx)(sen^2x+cos^2x+senxcosx) = 5 (sen x - cosx) [/tex3]
[tex3]4 (senx-cosx)(1+senxcosx) = 5 (sen x - cosx) [/tex3]

[tex3]senx = cosx\rightarrow x = \frac{\pi}{4} [/tex3] é solução, além disso:

[tex3]4 (senx-cosx)(1+senxcosx) = 5 (sen x - cosx) [/tex3]
[tex3]4(1+senxcosx) = 5 [/tex3]
[tex3]senxcosx = \frac{1}{4} [/tex3]
[tex3]sen(2x) = \frac{1}{2} [/tex3]

[tex3]2x = \frac{\pi}{6}\rightarrow x = \frac{\pi}{12} [/tex3]
[tex3]2x = \frac{5\pi}{6}\rightarrow x = \frac{5\pi}{12} [/tex3]

Portanto [tex3]S = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{12}+\frac{5\pi}{12} = \frac{3\pi}{4} [/tex3]

Sendo assim: [tex3]\tan S + cossec2S = -1-1 = \boxed {-2}[/tex3]

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