IME / ITA(Escola Naval-2011) Trigonometria Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Autor do Tópico
JohnnyEN
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(Escola Naval-2011) Trigonometria

Mensagem não lida por JohnnyEN »

Considere S, a soma das raízes da equação trigonométrica [tex3]4 sen^{3}x -5 sen x - 4cos^{3}x + 5 cosx = 0 [/tex3] no intervalo [tex3][0, \frac{\pi }{2}][/tex3] qual o valor de [tex3]\tan S + cossec2S[/tex3] ?

A) 2
B) 1
C) 0
D) -1
E) -2
Resposta

GAB: E



"Existem três tipos de homens: os vivos, os mortos e os que vão para o mar." - Platão

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Ittalo25
5 - Mestre
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Ago 2020 16 16:10

Re: (Escola Naval-2011) Trigonometria

Mensagem não lida por Ittalo25 »

[tex3]4 (sen^{3}x-cos^3x) = 5 (sen x - cosx) [/tex3]
[tex3]4 (senx-cosx)(sen^2x+cos^2x+senxcosx) = 5 (sen x - cosx) [/tex3]
[tex3]4 (senx-cosx)(1+senxcosx) = 5 (sen x - cosx) [/tex3]

[tex3]senx = cosx\rightarrow x = \frac{\pi}{4} [/tex3] é solução, além disso:

[tex3]4 (senx-cosx)(1+senxcosx) = 5 (sen x - cosx) [/tex3]
[tex3]4(1+senxcosx) = 5 [/tex3]
[tex3]senxcosx = \frac{1}{4} [/tex3]
[tex3]sen(2x) = \frac{1}{2} [/tex3]

[tex3]2x = \frac{\pi}{6}\rightarrow x = \frac{\pi}{12} [/tex3]
[tex3]2x = \frac{5\pi}{6}\rightarrow x = \frac{5\pi}{12} [/tex3]


Portanto [tex3]S = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{12}+\frac{5\pi}{12} = \frac{3\pi}{4} [/tex3]

Sendo assim: [tex3]\tan S + cossec2S = -1-1 = \boxed {-2}[/tex3]



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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brilhante20
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Re: (Escola Naval-2011) Trigonometria

Mensagem não lida por brilhante20 »

como assim senx=cosx??? qual foi o raciocinio???



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LostWalker
4 - Sabe Tudo
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Re: (Escola Naval-2011) Trigonometria

Mensagem não lida por LostWalker »

brilhante20, vindo da outra explicação e achei outra dúvida sua :v

Nesse caso, isso é "uma solução", não se da para afirmar que é a única, mas com certeza essa é solução, veja que:

[tex3]4{\color{JungleGreen}(\sen x-\cos x)}(\sen^2x+\cos^2x+\sen x\cos x) = 5{\color{JungleGreen}(\sen x-\cos x)}[/tex3]


Esse mesmo fator está multiplicando dos dois lado, logo, se ele for [tex3]0[/tex3] , os dois lados zeram. Outra forma mais familiar de enxergar isso seria deixando tudo do mesmo lado:

[tex3]4{\color{JungleGreen}(\sen x-\cos x)}(\sen^2x+\cos^2x+\sen x\cos x) = 5{\color{JungleGreen}(\sen x-\cos x)}[/tex3]

[tex3]4{\color{JungleGreen}(\sen x-\cos x)}(\sen^2x+\cos^2x+\sen x\cos x) - 5{\color{JungleGreen}(\sen x-\cos x)}=0[/tex3]

[tex3]{\color{JungleGreen}(\sen x-\cos x)}\[4(\sen^2x+\cos^2x+\sen x\cos x)-5\]=0[/tex3]


Ou seja, se o termo for igual a [tex3]0[/tex3] , temos uma solução, o que nos leva a:

[tex3]\sen x-\cos x=0[/tex3]


[tex3]\boxed{\sen x=\cos x\!{\phantom{|}}}[/tex3]


"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly

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brilhante20
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Mar 2023 26 00:08

Re: (Escola Naval-2011) Trigonometria

Mensagem não lida por brilhante20 »

Obrigada!!!!!!!!!!!!!!!!!



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OVencedor
iniciante
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Re: (Escola Naval-2011) Trigonometria

Mensagem não lida por OVencedor »

Alguém poderia me explicar o porque de inserir como solução 5pi/12 sendo que o enunciado limita o conjunto S em [0,pi/2]?



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petras
7 - Einstein
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Out 2023 24 17:55

Re: (Escola Naval-2011) Trigonometria

Mensagem não lida por petras »

OVencedor,
????
E [tex3]\frac{5\pi}{12}[/tex3] está em qual intervalo?



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LucasDN684
Pleno
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Registrado em: Sex 26 Mai, 2023 06:12
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Out 2023 25 04:41

Re: (Escola Naval-2011) Trigonometria

Mensagem não lida por LucasDN684 »

OVencedor escreveu:
Ter 24 Out, 2023 14:44
Alguém poderia me explicar o porque de inserir como solução 5pi/12 sendo que o enunciado limita o conjunto S em [0,pi/2]?
[tex3]\frac{5\pi }{12}< \frac{6\pi }{12}=\frac{\pi }{2}[/tex3]

Sempre que for assim você faz isso pra um valor fácil de analisar.



Ban-...kai!

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