IME / ITA ⇒ CN 2009) Semelhança e cevianas Tópico resolvido

[careca]

Sendo: hA, hB, e hC as medidas das alturas; mA, mB e mC as medidas das medianas; e bA, bB e bC as medidas das bissetrizes internas de um triângulo ABC, analise as afirmativas a seguir.

I - O triângulo formado pelos segmentos 1/ hA, 1/hB e 1/hC é semelhante ao triângulo ABC.

II - O triângulo formado pelos segmentos 1/ mA, 1/ mB e 1/mC é semelhante ao triângulo ABC.

III- O triângulo formado pelos segmentos 1/bA, 1/bB e 1/bC é semelhante ao triângulo ABC.

Pode-se concluir que:


(A) apenas I é sempre verdadeira.

(B )apenas II é sempre verdadeira.

(C) apenas III é sempre verdadeira.

(D) I, II e III são sempre verdadeiras.

(E) I, II e III são sempre falsas.

Resposta

---

GABARITO = A

[Tassandro]

careca,

É imediato que I é verdade, pois
[tex3]S=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}\implies \frac{a}{\frac{1}{h_a}}=\frac{b}{\frac{1}{h_b}}=\frac{c}{\frac{1}{h_c}}=2S[/tex3]

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[tex3]S=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}\implies \frac{a}{\frac{1}{h_a}}=\frac{b}{\frac{1}{h_b}}=\frac{c}{\frac{1}{h_c}}=2S[/tex3]

Logo, são semelhantes.
Ficamos entre as letras a e d. Basta avaliarmos a alternativa 2 (dará menos contas). Seja o triângulo retângulo isóceles com [tex3]a=b=1[/tex3]

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[tex3]a=b=1[/tex3]

e c [tex3]=\sqrt2[/tex3]

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[tex3]=\sqrt2[/tex3]

.
Assim, usando o teorema de Stewart, temos que [tex3]m_a=m_b=\frac{\sqrt5}{2}[/tex3]

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[tex3]m_a=m_b=\frac{\sqrt5}{2}[/tex3]

e [tex3]m_c=1[/tex3]

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[tex3]m_c=1[/tex3]

, o que não torna retângulo o triângulo formado pelos inversos desses valores e, dessa forma, não semelhante ao original.