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Tangenciando externamente a elipse ε1, tal que ε1: 9x2 + 4y2 - 72x - 24y +144 = 0 considere uma elipse ε2, de eixo maior sobre a reta que suporta o eixo menor de ε1 e cujos eixos têm mesma medida que os eixos de ε1. Sabendo que ε2 está inteiramente contida no primeiro quadrante, o centro de ε2 é:
(A)(7,3)
(B)(8,2)
(C)(8,3)
(D)(9 ,3)
(E)(9,2)

Resposta

GAB:D,por favor com imagem

ASPIRADEDEU

Figura:

: el.png (43.4 KiB) Exibido 2130 vezes

Perceba que a definição dos pontos é simples:
A coordenada y do centro da elipse dada é igual a da elipse pedida
E a coordenada x é simplesmente a + b (semieixo maior + semieixo menor)
Apenas pelo desenho ja podemos ver isso

Se fosse na prova, sem auxílio computacional, eu iria converter para a equação reduzida da elipse e depois desenhar, tal qual o computador fez para mim. Disso, a solução é apenas uma analise do que foi pedido.
Os pontos "soltos" na figura são o centro da elipse 2 e seus vértices

Vamos lá, primeiro passo é determinar onde está [tex3]\varepsilon_1[/tex3] :
[tex3]9x^2 + 4y^2 - 72x - 24y +144 = 0[/tex3]
[tex3]9x^2 - 72x+ 4y^2 - 24y +144 = 0[/tex3]
[tex3]9(x^2 - 8x)+ 4(y^2 - 6y) +144 = 0[/tex3]
[tex3]9(x^2 - 8x+4^2-4^2)+ 4(y^2 - 6y+3^2-3^2) +144 = 0[/tex3]
[tex3]9(x^2 - 8x+4^2)-9\cdot4^2+ 4(y^2 - 6y+3^2)-4\cdot3^2 +144 = 0[/tex3]
[tex3]9(x-4)^2-144+ 4(y-3)^2-36 +144 = 0[/tex3]
[tex3]9(x-4)^2+ 4(y-3)^2=36[/tex3]
[tex3]{(x-4)^2\over4}+ {(y-3)^2\over9}=1[/tex3]
[tex3]{\left({x-4\over2}\right)^2}+{\left({y-3\over3}\right)^2}=1[/tex3]
Então, temos uma elipse, centrada em [tex3](4,3)[/tex3] de semi-eixo em [tex3]x[/tex3] igual à 2 e semi-eixo em [tex3]y[/tex3] igual a 3.

Agora, vamos encontrar [tex3]\varepsilon_2[/tex3] :

Tangenciando externamente a elipse [tex3]ε_1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ε_1[/tex3]

: Elipse tangente - 1.png (37.43 KiB) Exibido 2119 vezes

de eixo maior sobre a reta que suporta o eixo menor de [tex3]ε_1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ε_1[/tex3]

: Elipse tangente - 2.png (31.97 KiB) Exibido 2119 vezes

cujos eixos têm mesma medida que os eixos de [tex3]ε_1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ε_1[/tex3]

: Elipse tangente - 3.png (40.39 KiB) Exibido 2119 vezes

Sabendo que [tex3]ε_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ε_2[/tex3]

está inteiramente contida no primeiro quadrante

: Elipse tangente - 4.png (45.17 KiB) Exibido 2119 vezes

Enfim, sabemos que essa elipse possui os mesmos eixos, então ela é da forma:
[tex3]{(x-x_c)^2\over4}+ {(y-y_c)^2\over9}=1[/tex3]

O eixo menor passa pelo centro dela. Como a reta que passa pelo centro de [tex3]\varepsilon_1[/tex3] é horizontal, todos os pontos tem a mesma coordenada em [tex3]y[/tex3] . Portanto:
[tex3]y_c=3[/tex3]

Sabemos também que os eixos de ambas são iguais. Assim, o semi-eixo menor de [tex3]\varepsilon_2[/tex3] também vale 2. O centro de [tex3]\varepsilon _1[/tex3] é [tex3]4[/tex3] , se andarmos 2 para a direita chegaremos no ponto de tangência, andando mais dois chegaremos no centro. Portanto, o centro de [tex3]\varepsilon_2 [/tex3] será:
[tex3]x_c=4+2+2=8[/tex3]

Assim, [tex3]\varepsilon _2[/tex3] possui centro em [tex3](8,3)[/tex3]
Opção C

AnthonyC Vlw, resolução ficou braba.

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