IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2004) Geometria Plana Tópico resolvido

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Considere o trapézio MNPQ de bases MN=m e PQ=4, com m>4 e altura igual a 6, conforme abaixo. Sendo A e B os pontos médios dos lados MP e NQ, respectivamente, e sabendo que AB=10, então a área do trapézio MCDN vale:

a) 28
b) 33
c) 37
d) 42
e) 45


Sem gabarito

[Henrique7]

A medida da base média de um trapézio é igual a semi-soma das medidas das base desse trapézio. Isto é,
[tex3]\overline{AB} = \frac{\overline{MN}+\overline{PQ}}{2} \implies 10 = \frac{\overline{MN}+4}{2} \implies \overline{MN} = 16[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{AB} = \frac{\overline{MN}+\overline{PQ}}{2} \implies 10 = \frac{\overline{MN}+4}{2} \implies \overline{MN} = 16[/tex3]

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Agora, note que os triângulos ACM e PQM são semelhantes, portanto
[tex3]\frac{\overline{AC}}{\overline{PQ}} = \frac{\overline{AM}}{\overline{PM}} \implies \frac{\overline{AC}}{4} = \frac{\overline{AM}}{2\overline{AM}} \implies \overline{AC} = 2[/tex3]

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[tex3]\frac{\overline{AC}}{\overline{PQ}} = \frac{\overline{AM}}{\overline{PM}} \implies \frac{\overline{AC}}{4} = \frac{\overline{AM}}{2\overline{AM}} \implies \overline{AC} = 2[/tex3]

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Analogamente, temos que os triângulos BDN e QPN são semelhantes, potanto
[tex3]\frac{\overline{BD}}{\overline{PQ}} = \frac{\overline{BN}}{\overline{QN}} \implies \frac{\overline{BD}}{4} = \frac{\overline{BN}}{2\overline{BN}} \implies \overline{BD} = 4[/tex3]

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[tex3]\frac{\overline{BD}}{\overline{PQ}} = \frac{\overline{BN}}{\overline{QN}} \implies \frac{\overline{BD}}{4} = \frac{\overline{BN}}{2\overline{BN}} \implies \overline{BD} = 4[/tex3]

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Dessa forma, [tex3]\overline{CD}=\overline{AB}-\overline{AC}-\overline{BD} = 10-2-2 \implies \overline{CD}=6[/tex3]

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[tex3]\overline{CD}=\overline{AB}-\overline{AC}-\overline{BD} = 10-2-2 \implies \overline{CD}=6[/tex3]

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[tex3]\overline{AB}[/tex3]

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[tex3]\overline{AB}[/tex3]

é base média do trapézio MPQN, portanto a altura h do trapézio MCDN é metade da altura do primeiro trapézio. Isto é, h=3.
Logo, a área do trapézio MCDN é
[tex3]A_{MCDN} = \frac{(\overline{MN}+\overline{CD})\cdot h}{2} = \frac{(16+6)\cdot 3}{2} \implies A_{MCDN}=33[/tex3]

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[tex3]A_{MCDN} = \frac{(\overline{MN}+\overline{CD})\cdot h}{2} = \frac{(16+6)\cdot 3}{2} \implies A_{MCDN}=33[/tex3]

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Obrigado, Henrique7