Resposta
[tex3]\frac{a\sqrt{6}}{6}[/tex3]
IME / ITA ⇒ IME Militar 08 - Pirâmide Tópico resolvido
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Jul 2020
08
18:54
IME Militar 08 - Pirâmide
Seja ABCD um tetraedro regular, e O um ponto pertencente ao segmento AA', onde A' é a projeção de A no plano BCD. Calcule a distância AO para que o tetraedro OBCD seja trirretângulo.
[tex3]\frac{a\sqrt{6}}{6}[/tex3]
[tex3]\frac{a\sqrt{6}}{6}[/tex3]
Jul 2020
08
20:34
Re: IME Militar 08 - Pirâmide
Para que seja triretangular, devemos ter:
[tex3]BC^2 = OC^2 + OB^2 [/tex3]
Temos que [tex3]OA=OB=OC [/tex3] e também: [tex3]BC = a [/tex3]
[tex3]\frac{a^2}{2} = OC^2 [/tex3]
E por consequência teremos:
[tex3]OC^2 = A'O^2 +A'C^2[/tex3]
Sabendo que [tex3]A'C [/tex3] é o circuncentro de um triângulo equilátero de lado a:
[tex3]A'O = \frac{a\sqrt{6}}{6}[/tex3]
Então queremos: [tex3]AA' - A'O = \frac{a\sqrt{3}}{3} - \frac{a\sqrt{6}}{6} = \boxed{\frac{a\sqrt{6}}{6}}[/tex3]
[tex3]BC^2 = OC^2 + OB^2 [/tex3]
Temos que [tex3]OA=OB=OC [/tex3] e também: [tex3]BC = a [/tex3]
[tex3]\frac{a^2}{2} = OC^2 [/tex3]
E por consequência teremos:
[tex3]OC^2 = A'O^2 +A'C^2[/tex3]
Sabendo que [tex3]A'C [/tex3] é o circuncentro de um triângulo equilátero de lado a:
[tex3]A'O = \frac{a\sqrt{6}}{6}[/tex3]
Então queremos: [tex3]AA' - A'O = \frac{a\sqrt{3}}{3} - \frac{a\sqrt{6}}{6} = \boxed{\frac{a\sqrt{6}}{6}}[/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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