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IME / ITA ⇒ IME Militar 02 - Pirâmide Tópico resolvido
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Jul 2020
08
18:51
IME Militar 02 - Pirâmide
Dada uma pirâmide reta de base hexagonal regular, fazemos passar pelo centro de sua base um plano alfa paralelo a uma face lateral. Ache a razão entre a área da seção obtida e da face lateral.
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Tassandro 
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Jul 2020
09
07:27
Re: IME Militar 02 - Pirâmide
Zhadnyy,
Imaginar essa figura dá um trabalho!
Mas você há de concordar comigo que a figura formada pela seção vai ser um trapézio? E que esse trapézio vai cortar os outros lados nos seus pontos médios?
Assim, na face oposta à face à qual o plano é paralelo, o plano vai cortar a face nos pontos médios dos lados, basicamente vai formar um base média. Se for [tex3]\ell[/tex3] o lado hexágono, teremos que essa base menor do trapézio vale [tex3]\frac{\ell}2[/tex3] , e a base maior dele vai valer, obviamente, [tex3]2\ell[/tex3] . Sendo [tex3]m[/tex3] o apótema das faces, note que as faces "laterais" ao corte vão ser cortadas nos seus pontos médios, de modo que a altura do nosso trapézio vai ser [tex3]\frac m2[/tex3] (basicamente, os lados transversais de nosso trapézio são medianas dessas faces). Logo, a razão pedida vale
[tex3]\large\frac{\frac{\(\frac{\ell}2+2\ell\)m/2}2}{\frac{\ell m}2}=\frac54[/tex3]
Estou pensando em como formalizar mais esses fatos, assumo que foi mais intuição e uma figura relativamente bem feita (além da simetria da figura).
Imaginar essa figura dá um trabalho!
Mas você há de concordar comigo que a figura formada pela seção vai ser um trapézio? E que esse trapézio vai cortar os outros lados nos seus pontos médios?
Assim, na face oposta à face à qual o plano é paralelo, o plano vai cortar a face nos pontos médios dos lados, basicamente vai formar um base média. Se for [tex3]\ell[/tex3] o lado hexágono, teremos que essa base menor do trapézio vale [tex3]\frac{\ell}2[/tex3] , e a base maior dele vai valer, obviamente, [tex3]2\ell[/tex3] . Sendo [tex3]m[/tex3] o apótema das faces, note que as faces "laterais" ao corte vão ser cortadas nos seus pontos médios, de modo que a altura do nosso trapézio vai ser [tex3]\frac m2[/tex3] (basicamente, os lados transversais de nosso trapézio são medianas dessas faces). Logo, a razão pedida vale
[tex3]\large\frac{\frac{\(\frac{\ell}2+2\ell\)m/2}2}{\frac{\ell m}2}=\frac54[/tex3]
Estou pensando em como formalizar mais esses fatos, assumo que foi mais intuição e uma figura relativamente bem feita (além da simetria da figura).
Última edição: Tassandro (Qui 09 Jul, 2020 09:07). Total de 3 vezes.
Dias de luta, dias de glória.
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Tassandro
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Jul 2020
09
07:55
Re: IME Militar 02 - Pirâmide
Consegui provar que ele passa pela base média da face oposta. É só ir usando paralelismo e o fato de que ele passa pelo centro do hexágono da base.
Acho que a outra parte sai por semelhança.
Na verdade acabou!
Porque como ele passa pelos pontos médios das face oposta, também passa pelos pontos médios de uma das arestas das faces adjascentes.
- 20200709_075115.jpg (28.23 KiB) Exibido 1010 vezes
Na verdade acabou!
Porque como ele passa pelos pontos médios das face oposta, também passa pelos pontos médios de uma das arestas das faces adjascentes.
- 20200709_075056.jpg (107.12 KiB) Exibido 1008 vezes
Última edição: Tassandro (Qui 09 Jul, 2020 08:04). Total de 3 vezes.
Dias de luta, dias de glória.
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