IME / ITA ⇒ IME 90 - Pirâmide Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Seja um segmento fixo Ao de comprimento a e uma semi-reta variável OX tal que AÔX = alfa, agudo, pertencentes a um plano fixo pi. Seja a perpendicular ao plano pi em A e seja B pertencente a esta perpendicular tal que AB = a. Seja C o pé da perpendicular traçada de B sobre Ox. Pedidos:
a) Qual a propriedade comum a todas as faces do tetraedro OABC?
b) Calcule o comprimento das seis arestas de OABC em função de a e alfa.
c) Calcule o volume V do tetraedro em função de a e alfa.
d) Determine alfa de modo que [tex3]V=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}[/tex3]

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[tex3]V=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}[/tex3]

(existem dois valores)
e) Determine o volume comum aos dois sólidos encontrados no item anterior.

Resposta

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a) BÂO = BÂC = ACO = BCO - 90º
b) [tex3]AO=AB=a,OC=acos\alpha , AC=asen\alpha , OB = a\sqrt{2},BC=a\sqrt{1+sen^2\alpha }[/tex3]

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[tex3]AO=AB=a,OC=acos\alpha , AC=asen\alpha , OB = a\sqrt{2},BC=a\sqrt{1+sen^2\alpha }[/tex3]

c) [tex3]V=\frac{a^3sen2\alpha }{12}[/tex3]

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[tex3]V=\frac{a^3sen2\alpha }{12}[/tex3]

d) [tex3]\alpha =30º,\alpha =60º[/tex3]

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[tex3]\alpha =30º,\alpha =60º[/tex3]

e)[tex3]V_{OABE}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}[/tex3]

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[tex3]V_{OABE}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}[/tex3]

[Tassandro]

Zhadnyy,
Note que o plano (A,B,C) [tex3]\perp[/tex3]

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[tex3]\perp[/tex3]

ao plano (O,A,C) [tex3]\implies OC\perp AC,AB\perp AO,AC\perp AB[/tex3]

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[tex3]\implies OC\perp AC,AB\perp AO,AC\perp AB[/tex3]

e, pelo enunciado, [tex3]BC\perp OC[/tex3]

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[tex3]BC\perp OC[/tex3]

. Assim, temos que [tex3]\angle BAO=\angle BAC=\angle ACO=\angle BCO=90°[/tex3]

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[tex3]\angle BAO=\angle BAC=\angle ACO=\angle BCO=90°[/tex3]

Para o item b, tranquilidade, só Pitágoras mesmo
[tex3]AO=AB=a,OB=a\sqrt2,OC=a\senα,AC=a\cosα,BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=a\sqrt{1+\sen^2α}[/tex3]

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[tex3]AO=AB=a,OB=a\sqrt2,OC=a\senα,AC=a\cosα,BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=a\sqrt{1+\sen^2α}[/tex3]

c) [tex3]V=\frac{OC\cdot AC}2\cdot\frac13=\frac{a^3\sen2α}{12}[/tex3]

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[tex3]V=\frac{OC\cdot AC}2\cdot\frac13=\frac{a^3\sen2α}{12}[/tex3]

d) [tex3]\frac{a^3\sen2α}{12}=\frac{a^3\sqrt3}{24}\implies\sen2α=\frac{\sqrt3}2\impliesα=60°\text{ ou }α=30°[/tex3]

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[tex3]\frac{a^3\sen2α}{12}=\frac{a^3\sqrt3}{24}\implies\sen2α=\frac{\sqrt3}2\impliesα=60°\text{ ou }α=30°[/tex3]

d) A área em comum será [tex3]\frac{a}2\cdot\frac{a\tg30°}2=\frac{a^2\sqrt3}{12}[/tex3]

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[tex3]\frac{a}2\cdot\frac{a\tg30°}2=\frac{a^2\sqrt3}{12}[/tex3]

O volume em comum será
[tex3]\frac{a^2\sqrt3}{12}\cdot\frac{AB}3=\frac{a^3\sqrt3}{36}[/tex3]

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[tex3]\frac{a^2\sqrt3}{12}\cdot\frac{AB}3=\frac{a^3\sqrt3}{36}[/tex3]