IME / ITA

(EEAr - 2006) Num triângulo ABC , o ângulo BÊC mede 114°. Se E é o incentro de ABC, então o ângulo Â mede
A) 44°
B) 48°
C) 56°
D) 58°

Resposta

B

Lembrando que o incentro é o encontro das bissetrizes. Assim, [tex3]BE[/tex3] é a bissetriz do ângulo [tex3]\hat{B}[/tex3] e [tex3]EC[/tex3] é bissetriz do ângulo [tex3]\hat{C}[/tex3] . Consequentemente, [tex3]\angle EBC=\dfrac{\hat{B}}{2}[/tex3] e [tex3]\angle ECB=\dfrac{\hat{C}}{2}[/tex3] .
Como a soma dos ângulos internos do triângulo [tex3]\triangle EBC[/tex3] , assim como todo triângulo, é igual a [tex3]180 \degree[/tex3] vem [tex3]\angle EBC+\angle ECB+\angle BEC=180 \degree[/tex3] ou seja [tex3]\dfrac{\hat{B}}{2}+\dfrac{\hat{C}}{2}+114\degree=180\degree[/tex3] logo [tex3]\dfrac{\hat {B} +\hat {C}}{2}=180\degree-114\degree=66\degree[/tex3] portanto [tex3]\hat{B}+\hat{C}=132\degree[/tex3] .
Como a soma dos ângulos internos do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3] deve ser igual a [tex3]180\degree[/tex3] vem [tex3]\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180\degree[/tex3] ou seja [tex3]\hat{A}=180\degree-(\hat{B}+\hat{C})=180\degree-132\degree=48\degree[/tex3] .

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Ângulo

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Ângulo

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