Resposta
Gabarito 23
IME / ITA ⇒ Polinômios Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jul 2020
03
12:46
Polinômios
Se p(x) = x^5 + x^2 + 1 tem raízes r1, r2, r3, r4 e r5 e q(x) = x2 - 2. Então o valor absoluto da expressão q(r1)*q(r2)*q(r3)*q(r4)*q(r5) é igual a:
Gabarito 23
Gabarito 23
Jul 2020
05
21:49
Re: Polinômios
[tex3]q(r_k)=r_k^2-2[/tex3]
[tex3]q(r_k)=(r_k-\sqrt2)(r_k+\sqrt2)[/tex3]
[tex3]q(r_1)\cdot q(r_2)\cdot q(r_3)\cdot q(r_4)\cdot q(r_5)=\prod_{k=1}^5q(r_k)[/tex3]
[tex3]\prod_{k=1}^5(r_k^2-2)[/tex3]
[tex3]\prod_{k=1}^5(r_k-\sqrt2)(r_k+\sqrt2)[/tex3]
[tex3]\prod_{k=1}^5(r_k-\sqrt2)\cdot\prod_{k=1}^5(r_k+\sqrt2)[/tex3]
Vamos estudar cada um separado:
[tex3]\prod_{k=1}^5(r_k-\sqrt2)[/tex3]
[tex3](r_1-\sqrt2)(r_2-\sqrt2)(r_3-\sqrt2)(r_4-\sqrt2)(r_5-\sqrt2)[/tex3]
Agora, pense o seguinte, haverão 6 tipos de termos: com nenhuma raiz, com uma raiz, com duas, três, quatro e por último cinco raízes. Podemos computar cada um separadamente:
[tex3]\prod_{k=1}^5(r_k-\sqrt2)=-4\sqrt2+0+0-2+0-1=-(3+4\sqrt2)[/tex3]
Fazendo a mesma análise para o outro caso, vemos que teremos quase o mesmo resultado, exceto o primeiro termo que será [tex3](\sqrt2)^5=4\sqrt2[/tex3] , ou seja:
[tex3]\prod_{k=1}^5(r_k-\sqrt2)=4\sqrt2+0+0-2+0-1=-(3-4\sqrt2)[/tex3]
Finalmente:
[tex3]\prod_{k=1}^5(r_k-\sqrt2)\cdot\prod_{k=1}^5(r_k+\sqrt2)[/tex3]
[tex3][-(3+4\sqrt2)]\cdot[-(3-4\sqrt2)][/tex3]
[tex3]9-32[/tex3]
[tex3]q(r_1)\cdot q(r_2)\cdot q(r_3)\cdot q(r_4)\cdot q(r_5)=23[/tex3]
Caso tenha alguma dúvida com a explicação ali sobre como efetuei o produto, avise.
[tex3]q(r_k)=(r_k-\sqrt2)(r_k+\sqrt2)[/tex3]
[tex3]q(r_1)\cdot q(r_2)\cdot q(r_3)\cdot q(r_4)\cdot q(r_5)=\prod_{k=1}^5q(r_k)[/tex3]
[tex3]\prod_{k=1}^5(r_k^2-2)[/tex3]
[tex3]\prod_{k=1}^5(r_k-\sqrt2)(r_k+\sqrt2)[/tex3]
[tex3]\prod_{k=1}^5(r_k-\sqrt2)\cdot\prod_{k=1}^5(r_k+\sqrt2)[/tex3]
Vamos estudar cada um separado:
[tex3]\prod_{k=1}^5(r_k-\sqrt2)[/tex3]
[tex3](r_1-\sqrt2)(r_2-\sqrt2)(r_3-\sqrt2)(r_4-\sqrt2)(r_5-\sqrt2)[/tex3]
Agora, pense o seguinte, haverão 6 tipos de termos: com nenhuma raiz, com uma raiz, com duas, três, quatro e por último cinco raízes. Podemos computar cada um separadamente:
- Com nenhuma raiz: devemos escolher na multiplicação apenas os termos [tex3]-\sqrt2[/tex3]
, como temos 5 deles, teremos :[tex3](-\sqrt2)^5=-4\sqrt2[/tex3]
[tex3][/tex3] - Com uma raiz: devemos escolher apenas uma das raízes e outros quatro [tex3]-\sqrt2[/tex3]
, então teremos:
[tex3](-\sqrt2)^4r_k=4r_k [/tex3]
Como todos terão essa forma, podemos fatorar o [tex3]4[/tex3] de cada um:
[tex3]4(r_1+r_2+r_3+r_4+r_5)[/tex3]
Por Girard: [tex3]r_1+r_2+r_3+r_4+r_5=-{b\over a}=0[/tex3]
[tex3][/tex3] - Com duas raízes: devemos escolher duas raízes e outros três [tex3]-\sqrt2[/tex3]
:
[tex3](-\sqrt2)^3r_i\cdot r_j=-2\sqrt2\cdot r_i\cdot r_j[/tex3]
Assim, todos vão ter o [tex3]-2\sqrt2[/tex3] . A soma de todos os produtos dois a dois das raízes, por Girard, é :
[tex3]{c\over a}=0[/tex3]
[tex3][/tex3] - Com três raízes: devemos escolher três e outros dois [tex3]-\sqrt2[/tex3]
:
[tex3](-\sqrt2)^2r_i\cdot r_j \cdot r_k=2\cdot r_i\cdot r_j\cdot r_k[/tex3]
Assim, todos vão ter o [tex3]2[/tex3] . A soma de todos os produtos três a três das raízes, por Girard, é :
[tex3]-{d\over a}=-1[/tex3]
[tex3][/tex3] - Com quatro raízes: devemos escolher quatro e um [tex3]-\sqrt2[/tex3]
:
[tex3]-\sqrt2\cdot r_i\cdot r_j\cdot r_k\cdot r_l[/tex3]
Assim, todos vão ter o [tex3]-\sqrt2[/tex3] . A soma de todos os produtos quatro a quatro das raízes, por Girard, é :
[tex3]{e\over a}=0[/tex3]
[tex3][/tex3] - Com todas as raízes: devemos escolher apenas as raízes no produto:
[tex3]r_1\cdot r_2\cdot r_3\cdot r_4\cdot r_5[/tex3]
O produtos das raízes, por Girard, é :
[tex3]-{f\over a}=-1[/tex3]
[tex3]\prod_{k=1}^5(r_k-\sqrt2)=-4\sqrt2+0+0-2+0-1=-(3+4\sqrt2)[/tex3]
Fazendo a mesma análise para o outro caso, vemos que teremos quase o mesmo resultado, exceto o primeiro termo que será [tex3](\sqrt2)^5=4\sqrt2[/tex3] , ou seja:
[tex3]\prod_{k=1}^5(r_k-\sqrt2)=4\sqrt2+0+0-2+0-1=-(3-4\sqrt2)[/tex3]
Finalmente:
[tex3]\prod_{k=1}^5(r_k-\sqrt2)\cdot\prod_{k=1}^5(r_k+\sqrt2)[/tex3]
[tex3][-(3+4\sqrt2)]\cdot[-(3-4\sqrt2)][/tex3]
[tex3]9-32[/tex3]
[tex3]q(r_1)\cdot q(r_2)\cdot q(r_3)\cdot q(r_4)\cdot q(r_5)=23[/tex3]
Caso tenha alguma dúvida com a explicação ali sobre como efetuei o produto, avise.
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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