IME / ITA(Nível-Ime/Ita)Geometria Plana Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Flavio2020
Imperial
Mensagens: 730
Registrado em: Seg 06 Fev, 2017 16:29
Última visita: 16-03-24
Localização: CACEQUI RS
Jul 2020 02 14:27

(Nível-Ime/Ita)Geometria Plana

Mensagem não lida por Flavio2020 »

No gráfico abaixo,a medida do arco AB=90°,AH=a e CD=b.Calcule a área da região AHB.
f164.PNG
f164.PNG (8.23 KiB) Exibido 701 vezes
a)ab
b)[tex3]\frac{ab}{2}[/tex3]
c)a(a+b)
d)[tex3]\frac{a(a+b)}{2}[/tex3]
e)[tex3]\frac{ab\sqrt{2}}{2}[/tex3]
Resposta

d




Avatar do usuário
Tassandro
5 - Mestre
Mensagens: 1905
Registrado em: Sáb 15 Fev, 2020 17:01
Última visita: 03-10-23
Localização: Teresina, PI.
Jul 2020 02 15:22

Re: (Nível-Ime/Ita)Geometria Plana

Mensagem não lida por Tassandro »

Flavio2020,
Note que AC é diâmetro. Assim, seja [tex3]θ=\angle CAD[/tex3]
Agora, como o arco AB mede 90°, sendo R o raio do círculo, temos que [tex3]AB=R\sqrt2[/tex3]
Além disso, perceba que [tex3]\senθ=\frac{b}{2R}\implies\cosθ=\frac{\sqrt{4R^2-b^2}}{2R}[/tex3] e [tex3]\cos(45°+θ)=\frac{\sqrt2}{2}\(\senθ-\cosθ\)=\frac{AH}{AB}=\frac{a\sqrt2}{2R}[/tex3]
Assim, temos que
[tex3]\frac{\sqrt2}2\(\frac{\sqrt{4Rr^2-b^2}}{2R}-\frac{b}{2R}\)=\frac{a\sqrt2}{2R}\implies\sqrt{4R^2-b^2}=2a+b\implies4R^2-b^2=4a^2+4ab+b^2\implies\\
a^2+2ab+b^2+a^2=2R^2\implies(a+b)^2+a^2=2R^2[/tex3]
Mas perceba que no triângulo ABH, [tex3]BH^2+a^2=2R^2[/tex3] , logo, [tex3]BH=a+b[/tex3] e, por fim, a área pedida vale [tex3]\frac{a(a+b)}2[/tex3]

Última edição: Tassandro (Qui 02 Jul, 2020 15:23). Total de 1 vez.


Dias de luta, dias de glória.

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “IME / ITA”