IME / ITA ⇒ Combinação Completa Tópico resolvido

[Matgaldino]

Deseja-se selecionar três números, não necessariamente distintos, no conjunto {1, 2, 3, ..., 150}, de maneira que a soma dos números selecionados seja divisível por 3. Quantas são as possíveis seleções?

Resposta

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191300

[MateusQqMD]

Olá, Matgaldino.

Talvez esse tópico possa ajudar: viewtopic.php?p=203500#p203500

[Matgaldino]

Muito obrigado pela ajuda MateusQqMD. Então vamos lá:

Temos o conjunto A= {1, 2, 3, ..., 150}
Seja o conjunto A₀ o subconjunto de A tal que seus elementos são os números [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

onde [tex3]n \equiv 0 \pmod{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n \equiv 0 \pmod{3}[/tex3]

Analogamente temos A₁, [tex3]n \equiv 1 \pmod{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n \equiv 1 \pmod{3}[/tex3]

E A₂, [tex3]n \equiv 2 \pmod{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n \equiv 2 \pmod{3}[/tex3]

Temos que cada um dos conjuntos A₀, A₁ e A₂ tem 50 elementos.

Podemos dividir os casos de contagem, então, em 4 casos:

Caso 1: soma de 3 elementos de A₀:
CR₅₀³ = [tex3]{52 \choose 3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{52 \choose 3}[/tex3]

= 22100

Caso 2: soma de 3 elementos de A₁
CR₅₀³ = [tex3]{52 \choose 3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{52 \choose 3}[/tex3]

= 22100

Caso 3: soma de 3 elementos de A₂
CR₅₀³ = [tex3]{52 \choose 3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{52 \choose 3}[/tex3]

= 22100

Caso 4: soma de 1 elemento de A₀, 1 elemento de A₁ e 1 elemento de A₂
[tex3]{50 \choose 1} {50 \choose 1} {50 \choose 1} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{50 \choose 1} {50 \choose 1} {50 \choose 1} [/tex3]

= 125000

Então o total de casos será: 3x22100 + 125000 = 191300

[MateusQqMD]

Boa, Matgaldino