IME / ITA ⇒ Razão entre Áreas Tópico resolvido

[careca]

Questão retirada de um livro, eu fi-la atenciosamente e encontrei (A) mas o gabarito é letra (D)

Dada a figura a seguir em que ABC é um triângulo equilátero, BCDE é um quadrado; N é o centro do quadrado e M, do triângulo, assinale a alternativa que contém a razão entre as áreas do triângulos MON e BOE.

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Resposta

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GABARITO = (D)

[careca]

Minha solução :

Considere L o lado do quadrado e do triângulo equilátero.

Considere que o segmente MN é cortado por "P" no triângulo equilátero.

O segmento AP é bissetriz,mediana,mediatriz e altura.

AP = Altura = L(raiz de 3)/2

Se M é baricentro, MP = 1/3 da mediana = L(raiz de 3) / 6

BN é a metade da diagonal, ou seja, L(raiz de 2)/2 || ONM = OBE = 45 graus || BO = ON = L(raiz de 2)/4

PN = metade do quadrado = L/2

Calcular áreas por a.b.sen(o)/2

Calculando a razão das áreas percebemos que cortará vários elementos, sobrando : 1/2 + (raiz de 3)/6 = ou seja, (3 + raiz de 3) / 6 (A)

[Tassandro]

20200622_102832.jpg (43.28 KiB) Exibido 1457 vezes

careca,
Observe que [tex3]\triangle BKN\equiv\triangle CKN\text{ (LAL)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle BKN\equiv\triangle CKN\text{ (LAL)}[/tex3]

. Daí, vem que [tex3]KN\parallel BE[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]KN\parallel BE[/tex3]

e [tex3]\triangle OKN\sim\triangle OEB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle OKN\sim\triangle OEB[/tex3]

. Como [tex3]KN=\frac{\ell}2+\frac{\ell\sqrt3}6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]KN=\frac{\ell}2+\frac{\ell\sqrt3}6[/tex3]

e [tex3]BE=\ell[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BE=\ell[/tex3]

, a razão de semelhança entre os triângulos vale [tex3]k=\frac{\frac{\ell}2+\frac{\ell\sqrt3}6}\ell=\frac{3+\sqrt3}6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k=\frac{\frac{\ell}2+\frac{\ell\sqrt3}6}\ell=\frac{3+\sqrt3}6[/tex3]

. A razão de semelhança entre as áreas vale [tex3]k^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k^2[/tex3]

, que vale [tex3]\frac{12+6\sqrt3}{36}=\frac{2+\sqrt3}6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{12+6\sqrt3}{36}=\frac{2+\sqrt3}6[/tex3]

.

[careca]

Muito obrigado ! Seu raciocínio é excelente, você entendeu o porquê do meu erro?

[Tassandro]

careca,
"BN é a metade da diagonal, ou seja, L(raiz de 2)/2 || ONM = OBE = 45 graus || BO = ON = L(raiz de 2)/4"
Isso está falso. Só seria verdade se os triângulos OMN e OCB fossem congruentes, o que não é verdade.