Olá triplebig,
Esta questão morre rapidinho sabendo uma relação bem fácil de se provar (mostro a relação e deixo a prova para você):
[tex3]V=\frac{\(A_{\text{b}}+A_{\text{lateral}}\)\cdot R}{3}[/tex3]
Onde:
[tex3]A_{\text{b}}=\text{Area da base}[/tex3]
[tex3]A_{\text{lateral}}=\text{Area lateral}[/tex3]
[tex3]R=\text{Raio do circulo inscrito}[/tex3]
É dito no enunciado que [tex3]A_{\text{b}}=\text{Area da base}=H^2=\frac{\ell^2\sqrt 3}{4}[/tex3]
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D é o baricentro de ABC (triângulo equilátero pois a pirâmide é regular), portanto, DF vale 1/3 da altura de ABC. Podemos, então, aplicar pitágoras para descobrir a altura [tex3]a[/tex3]
da face lateral:
[tex3]\(\frac 13\cdot \frac{\ell\sqrt 3}{2}\)^2+H^2=a^2[/tex3]
[tex3]\(\frac 13\cdot \frac{\ell\sqrt 3}{2}\)^2+\frac{\ell^2\sqrt 3}{4}=a^2[/tex3]
[tex3]a=\frac{\ell}{2}\sqrt{\frac{1+3\sqrt 3}{3}}[/tex3]
Agora podemos calcular a área lateral:
[tex3]A_{\text{lateral}}=3\cdot\frac{\ell\cdot \frac{\ell}{2}\sqrt{\frac{1+3\sqrt 3}{3}}}{2}=\frac{\ell^2\sqrt{1+3\sqrt 3}\sqrt{3}}{4}[/tex3]
E, portanto, o volume calculado pela fórmula dada no início igualado a fórmula usual de volume:
[tex3]V=\frac{\(A_{\text{b}}+A_{\text{lateral}}\)\cdot R}{3}=\frac{A_{\text{b}}\time H}{3}[/tex3]
[tex3]\frac{\(\frac{\ell^2\sqrt 3}{4}+\frac{\ell^2\sqrt{1+3\sqrt 3}\sqrt{3}}{4}\)\cdot R}{3}=\frac{\frac{\ell^2\sqrt 3}{4}\time H}{3}[/tex3]
Manipulando esta equação, chegamos em:
[tex3]\frac HR=1+\sqrt{1+3\sqrt 3}[/tex3]
Alternativa letra C.