IME / ITA(Colégio Naval 2018) Equação Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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japerito
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(Colégio Naval 2018) Equação

Mensagem não lida por japerito »

Sejam os números naturais [tex3]m[/tex3] e [tex3]n,[/tex3] tais que [tex3]0 < m \leq 2018[/tex3] e [tex3]n=\sqrt{m-\sqrt{m^2-49}}.[/tex3] Dentre as opções a seguir, marque a que apresenta o resultado de [tex3]10^{n}m[/tex3] .

(A) 250
(B) 360
(C) 380
(D) 420
(E) 540

Última edição: MateusQqMD (Qui 21 Mai, 2020 12:16). Total de 1 vez.
Razão: arrumar texto.



Movido de Concursos Públicos para IME / ITA em Qui 21 Mai, 2020 12:16 por MateusQqMD

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MateusQqMD
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Mai 2020 21 12:37

Re: (Colégio Naval 2018) Equação

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Olá, novamente, japerito.

Vamos começar elevando ambos os membros da equação dada ao quadrado e, em seguida, realizando algumas manipulações.

[tex3]\begin{align}n=\sqrt{m-\sqrt{m^2-49}} \,\,\,\, & \Rightarrow \,\,\,\, m - n = \sqrt{m^2 -49} \\ & \Rightarrow \,\,\,\, m^2 -2mn +n^2 = |m^2 -49|.\end{align}[/tex3]

[tex3]\bullet \,\,\, m^2 -49 \geq 0 \,\, \Leftrightarrow \,\, \xcancel{m \leq -7}[/tex3] ou [tex3]m\geq 7[/tex3] e daí

[tex3]m^2 + n(n -2m) = m^2 -49 \,\, \Leftrightarrow \,\, n(n -2m) = -49,[/tex3]

se [tex3]m[/tex3] e n [tex3][/tex3] são naturais, então

[tex3]n(n -2m) = -49 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \begin{cases}\begin{align}
n = 7 \\
n -2m = -7
\end{align}\end{cases} \,\,\,\, \text{ou} \,\,\,\, [/tex3] [tex3]\begin{cases}\begin{align}
n = 1 \\
n -2m = -49
\end{align}\end{cases} \,\,\,\, \text{ou} \,\,\,\,[/tex3] [tex3]\begin{cases}\begin{align}
n = 49 \\
n -2m = -1
\end{align}\end{cases} [/tex3]

Note que o segundo e o terceiro caso satisfazem as condições impostas, mas apenas [tex3]n = 1[/tex3] e [tex3]n -2m = -49 \,\, \Leftrightarrow \,\, m = 25[/tex3] atendem a equação original, daí

[tex3]10^1 \cdot 25 = 250[/tex3]

[tex3]\bullet \,\,\, m^2 -49 <0 \,\, \Leftrightarrow \,\, -7 < m < 7[/tex3] e daí fica como dever de casa, pois já encontrei uma resposta no caso anterior..



"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."

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japerito
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Mai 2020 21 12:54

Re: (Colégio Naval 2018) Equação

Mensagem não lida por japerito »

Brilhante resolução, Mateus. Como sempre.




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