Olá, novamente,
japerito.
Vamos começar elevando ambos os membros da equação dada ao quadrado e, em seguida, realizando algumas manipulações.
[tex3]\begin{align}n=\sqrt{m-\sqrt{m^2-49}} \,\,\,\, & \Rightarrow \,\,\,\, m - n = \sqrt{m^2 -49} \\ & \Rightarrow \,\,\,\, m^2 -2mn +n^2 = |m^2 -49|.\end{align}[/tex3]
[tex3]\bullet \,\,\, m^2 -49 \geq 0 \,\, \Leftrightarrow \,\, \xcancel{m \leq -7}[/tex3]
ou [tex3]m\geq 7[/tex3]
e daí
[tex3]m^2 + n(n -2m) = m^2 -49 \,\, \Leftrightarrow \,\, n(n -2m) = -49,[/tex3]
se [tex3]m[/tex3]
e n [tex3][/tex3]
são naturais, então
[tex3]n(n -2m) = -49 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \begin{cases}\begin{align}
n = 7 \\
n -2m = -7
\end{align}\end{cases} \,\,\,\, \text{ou} \,\,\,\, [/tex3]
[tex3]\begin{cases}\begin{align}
n = 1 \\
n -2m = -49
\end{align}\end{cases} \,\,\,\, \text{ou} \,\,\,\,[/tex3]
[tex3]\begin{cases}\begin{align}
n = 49 \\
n -2m = -1
\end{align}\end{cases} [/tex3]
Note que o segundo e o terceiro caso satisfazem as condições impostas, mas apenas [tex3]n = 1[/tex3]
e [tex3]n -2m = -49 \,\, \Leftrightarrow \,\, m = 25[/tex3]
atendem a equação original, daí
[tex3]10^1 \cdot 25 = 250[/tex3]
[tex3]\bullet \,\,\, m^2 -49 <0 \,\, \Leftrightarrow \,\, -7 < m < 7[/tex3]
e daí fica como dever de casa, pois já encontrei uma resposta no caso anterior..