(IME 1981) Se [tex3]x = \underbrace{444...4 }_{ n \, \text{vezes}} \underbrace{8888...8}_{ (n-1) \, \text{vezes}}9,[/tex3]
*quantidade de 4 = n
*quantidade de 8= n-1
então a soma dos algarismos de [tex3]3\sqrt{x}[/tex3]
é igual :Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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IME / ITA ⇒ (IME 1981) Teoria dos Números Tópico resolvido
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Abr 2020
17
16:56
(IME 1981) Teoria dos Números
Editado pela última vez por MateusQqMD em 17 Abr 2020, 17:49, em um total de 3 vezes.
Razão: colocar tex na expressão matemática.
Razão: colocar tex na expressão matemática.
Por que você quer tanto isso? - Porque disseram que eu não conseguiria - Homens de Honra
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Abr 2020
17
17:07
Re: (IME 1981) Teoria dos Números
careca,
Subtraindo 10X de X, obtemos que
[tex3]9X=1+4\cdot10^n+4\cdot10^{2n}=(2\cdot10^n+1)^2\implies X=\(\frac{2\cdot10^n+1}{3}\)^2\\
\implies 3\sqrt X=2\cdot10^n+1[/tex3]
Logo, a soma dos algarismos de [tex3]3\sqrt X=2+1=3[/tex3]
Vale, bonam fortunam!
Subtraindo 10X de X, obtemos que
[tex3]9X=1+4\cdot10^n+4\cdot10^{2n}=(2\cdot10^n+1)^2\implies X=\(\frac{2\cdot10^n+1}{3}\)^2\\
\implies 3\sqrt X=2\cdot10^n+1[/tex3]
Logo, a soma dos algarismos de [tex3]3\sqrt X=2+1=3[/tex3]
Vale, bonam fortunam!
Dias de luta, dias de glória.
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Abr 2020
17
17:13
Re: (IME 1981) Teoria dos Números
Vou apenas provar a primeira afirmação.
Veja que
[tex3]X=9+8\cdot10^1+8\cdot10^2+...+8\cdot10^{n-1}+4\cdot10^n+4\cdot10^{n+1}+...+4\cdot10^{2n-1}\\
10X=90+8\cdot10^2+...+8\cdot10^n+4\cdot10^{n+1}+...+4\cdot10^{2n}[/tex3]
Fazendo 10X - X, perceba que haverá uma série de cancelamentos, de modo que
[tex3]9X=(1+2\cdot2\cdot10^n+(2\cdot10^n)^2)=(2\cdot10^n+1)^2[/tex3]
Veja que
[tex3]X=9+8\cdot10^1+8\cdot10^2+...+8\cdot10^{n-1}+4\cdot10^n+4\cdot10^{n+1}+...+4\cdot10^{2n-1}\\
10X=90+8\cdot10^2+...+8\cdot10^n+4\cdot10^{n+1}+...+4\cdot10^{2n}[/tex3]
Fazendo 10X - X, perceba que haverá uma série de cancelamentos, de modo que
[tex3]9X=(1+2\cdot2\cdot10^n+(2\cdot10^n)^2)=(2\cdot10^n+1)^2[/tex3]
Dias de luta, dias de glória.
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