IME / ITA ⇒ (IME 1981) Teoria dos Números Tópico resolvido

[careca]

(IME 1981) Se [tex3]x = \underbrace{444...4 }_{ n \, \text{vezes}} \underbrace{8888...8}_{ (n-1) \, \text{vezes}}9,[/tex3]

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[tex3]x = \underbrace{444...4 }_{ n \, \text{vezes}} \underbrace{8888...8}_{ (n-1) \, \text{vezes}}9,[/tex3]

então a soma dos algarismos de [tex3]3\sqrt{x}[/tex3]

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[tex3]3\sqrt{x}[/tex3]

é igual :

*quantidade de 4 = n

*quantidade de 8= n-1

[Tassandro]

careca,
Subtraindo 10X de X, obtemos que
[tex3]9X=1+4\cdot10^n+4\cdot10^{2n}=(2\cdot10^n+1)^2\implies X=\(\frac{2\cdot10^n+1}{3}\)^2\\
\implies 3\sqrt X=2\cdot10^n+1[/tex3]

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[tex3]9X=1+4\cdot10^n+4\cdot10^{2n}=(2\cdot10^n+1)^2\implies X=\(\frac{2\cdot10^n+1}{3}\)^2\\
\implies 3\sqrt X=2\cdot10^n+1[/tex3]

Logo, a soma dos algarismos de [tex3]3\sqrt X=2+1=3[/tex3]

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[tex3]3\sqrt X=2+1=3[/tex3]

Vale, bonam fortunam!

[Tassandro]

Vou apenas provar a primeira afirmação.
Veja que
[tex3]X=9+8\cdot10^1+8\cdot10^2+...+8\cdot10^{n-1}+4\cdot10^n+4\cdot10^{n+1}+...+4\cdot10^{2n-1}\\
10X=90+8\cdot10^2+...+8\cdot10^n+4\cdot10^{n+1}+...+4\cdot10^{2n}[/tex3]

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[tex3]X=9+8\cdot10^1+8\cdot10^2+...+8\cdot10^{n-1}+4\cdot10^n+4\cdot10^{n+1}+...+4\cdot10^{2n-1}\\
10X=90+8\cdot10^2+...+8\cdot10^n+4\cdot10^{n+1}+...+4\cdot10^{2n}[/tex3]

Fazendo 10X - X, perceba que haverá uma série de cancelamentos, de modo que
[tex3]9X=(1+2\cdot2\cdot10^n+(2\cdot10^n)^2)=(2\cdot10^n+1)^2[/tex3]

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[tex3]9X=(1+2\cdot2\cdot10^n+(2\cdot10^n)^2)=(2\cdot10^n+1)^2[/tex3]