IME / ITA ⇒ IME 65 - Lugar Geométrico Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Sobre uma circunferência toma-se um ponto qualquer A. A partir desse ponto, traçam-se retas secantes, tendo como comprimento o dobro das respectivas cordas. Definir, provando, o lugar geométrico das extremidades das retas assim construídas.

Resposta

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circunferência tangente externa à original, com mesmo raio

[Auto Excluído (ID:24303)]

Você descreveu uma homotetia de razão 2.
O resultado é imediato a partir desta demonstração: viewtopic.php?f=28&t=74548
O ponto [tex3]A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A[/tex3]

é centro de homotetia, logo é o ponto de contato entre os dois círculos.
O centro do segundo círculo é o ponto diametralmente oposto ao ponto [tex3]A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A[/tex3]

e o raio da circunferência na verdade é o dobro do raio da circunferência original.

Talvez tenha faltado provar que um círculo quando submetido a uma homotetia vira outro círculo.
É um resultado bem intuitivo se você usar números complexos:

Equação de um círculo qualquer: [tex3]|z- z_0| = r>0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|z- z_0| = r>0[/tex3]

Relação de homotetia (colocando a origem do sistema de coordenadas no centro da homotetia):
[tex3]z \rightarrow az, a \in \mathbb R, a \neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z \rightarrow az, a \in \mathbb R, a \neq 0[/tex3]

ou escrito de outra forma: [tex3]z'= az[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z'= az[/tex3]

os pontos do círculo são levados a: [tex3]|\frac{z'}a - z_0| = r \implies |z' - az_0| = |a|r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\frac{z'}a - z_0| = r \implies |z' - az_0| = |a|r[/tex3]

então o novo centro é [tex3]az_0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]az_0[/tex3]

e o novo raio é [tex3]|a|r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|a|r[/tex3]

mas a equação ainda é de um círculo.

[Babi123]

Nossa aqui foi usado Homotetia e Complexos. Tem um nome específico para essa Homotetia?

[FelipeMartin]

Babi123, para a homotetia de razão 2? Não conheço, acho que não.

Mas os números complexos oferecem a melhor forma de equacionar as homotetias, justamente porque multiplicar dois números complexos consiste em operações tanto de rotação quanto de homotetia: https://complexos.blog.br/1193/

[Babi123]

Ah ótimo FelipeMartin.

Encontrei isso: https://www.youtube.com/watch?v=g-yE4xoBJuQ&t=9s

Ainda vou assistir, mas acredito q seja útil.

[FelipeMartin]

acho que sim, tem bastante material sobre isso https://www.ime.usp.br/~oliveira/ELE-ARGAND-GEO.pdf dá uma olhada depois