IME / ITA ⇒ (IME-1995 - 2º Fase) - Geometria Plana Tópico resolvido
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Mar 2020
29
00:17
(IME-1995 - 2º Fase) - Geometria Plana
Três círculos de maios raio "R" se interceptam dois a dois, como é mostrado na figura abaixo, constituindo três áreas comuns que formam um trevo. Determine o perímetro do trevo e sua área em função do "R" e da área "S" do triângulo IJK.
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Mar 2020
29
08:49
Re: (IME-1995 - 2º Fase) - Geometria Plana
oilut,
Solução:
Por construção, o ponto O de encontro dos três círculos e equidistante dos três centros I, J e K.
Logo, O é o circuncentro, encontro das mediatrizes, do triângulo IJK.
a) Sejam os pontos I', interseção dos círculos de centros K e J, J', interseção dos círculos de centros I
e K, e K', interseção dos círculos de centros I e J.
O perímetro do trevo e dado pela soma dos comprimentos dos arcos J'OI' + I'OK' + K'OJ'.
Por simetria, tem-se
[tex3]O \hat{K}
J = I'\hat{K}J = K_1\\
O \hat{K}I = J'\hat{K}I = K_2\\
O\hat{I}K = J' \hat{I}K = I_1\\
O\hat{I}J = K'\hat{I}J = I_2\\
O \hat{J}K = I' \hat{J}K = J_1\\
O \hat{J}I = K'\hat{J}I = J_2\\
e\\
K_2 = I_1\\
I_2 = J_2\\
J_1 = K_1[/tex3]
Logo, o perímetro 2pT do trevo é a soma dos arcos
[tex3]J'OI' = K_2+K_2+K_1+K_1 = 2(K_1+K_2) = 2I \hat{K}J\\
I'OK' = J_1+J_1+J_2+J_2 = 2(J_1+J_2) = 2I \hat{J}K\\
K'OJ' = I_1+I_1+I_2+I_2 = 2(I_1+I_2) = 2K\hat{I}J
[/tex3]
ou seja
[tex3]\boxed{ 2pT = 2(I \hat{K}J + I \hat{J}K + K\hat{I}J)R = 2\pi R}[/tex3]
b) A área ST do trevo é a soma das áreas dos setores OJK', OIK', OIJ', OKJ', OKI' e OJI', menos
as áreas dos triângulos OJK', OIK', OIJ', OKJ', OKI' e OJI'.
Mas a área de um setor é dada por [tex3]\frac{R^2\theta }{2}[/tex3] , onde [tex3]\theta [/tex3] é o ângulo em radianos subentendido pelo setor. Logo,
[tex3]ST =\frac{R^2}{2}(2J_2 + 2I_2 + 2I_1 + 2K_2 + 2K_1 + 2J_1) -
(\Delta OJK'+\Delta OIK'+\Delta OIJ'+\Delta OKJ'+\Delta OKI'+\Delta OJI')[/tex3]
ou seja, [tex3]\boxed {ST =R^2\frac{(2\pi)}{2} -2S =\pi R^2 - 2S}[/tex3]
(Fonte: Sérgio Lima Netto)
Solução:
Por construção, o ponto O de encontro dos três círculos e equidistante dos três centros I, J e K.
Logo, O é o circuncentro, encontro das mediatrizes, do triângulo IJK.
a) Sejam os pontos I', interseção dos círculos de centros K e J, J', interseção dos círculos de centros I
e K, e K', interseção dos círculos de centros I e J.
O perímetro do trevo e dado pela soma dos comprimentos dos arcos J'OI' + I'OK' + K'OJ'.
Por simetria, tem-se
[tex3]O \hat{K}
J = I'\hat{K}J = K_1\\
O \hat{K}I = J'\hat{K}I = K_2\\
O\hat{I}K = J' \hat{I}K = I_1\\
O\hat{I}J = K'\hat{I}J = I_2\\
O \hat{J}K = I' \hat{J}K = J_1\\
O \hat{J}I = K'\hat{J}I = J_2\\
e\\
K_2 = I_1\\
I_2 = J_2\\
J_1 = K_1[/tex3]
Logo, o perímetro 2pT do trevo é a soma dos arcos
[tex3]J'OI' = K_2+K_2+K_1+K_1 = 2(K_1+K_2) = 2I \hat{K}J\\
I'OK' = J_1+J_1+J_2+J_2 = 2(J_1+J_2) = 2I \hat{J}K\\
K'OJ' = I_1+I_1+I_2+I_2 = 2(I_1+I_2) = 2K\hat{I}J
[/tex3]
ou seja
[tex3]\boxed{ 2pT = 2(I \hat{K}J + I \hat{J}K + K\hat{I}J)R = 2\pi R}[/tex3]
b) A área ST do trevo é a soma das áreas dos setores OJK', OIK', OIJ', OKJ', OKI' e OJI', menos
as áreas dos triângulos OJK', OIK', OIJ', OKJ', OKI' e OJI'.
Mas a área de um setor é dada por [tex3]\frac{R^2\theta }{2}[/tex3] , onde [tex3]\theta [/tex3] é o ângulo em radianos subentendido pelo setor. Logo,
[tex3]ST =\frac{R^2}{2}(2J_2 + 2I_2 + 2I_1 + 2K_2 + 2K_1 + 2J_1) -
(\Delta OJK'+\Delta OIK'+\Delta OIJ'+\Delta OKJ'+\Delta OKI'+\Delta OJI')[/tex3]
ou seja, [tex3]\boxed {ST =R^2\frac{(2\pi)}{2} -2S =\pi R^2 - 2S}[/tex3]
(Fonte: Sérgio Lima Netto)
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