IME / ITA ⇒ Geometria Plana Tópico resolvido

[Gabr7891b]

Num polígono regular ABCDE... , o ângulo formado pela mediatriz de AB e pela bissetriz interna de F vale 135°. Calcule quantos lados tem esse polígono.

Resposta

---

Resp. 12

[Tassandro]

Perceba que a bissstriz interna e a mediatriz vão se encontrar no centro do polígono. Desse modo, o ângulo de [tex3]135°[/tex3]

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[tex3]135°[/tex3]

vai enxergar um arco corrspondente a [tex3]\frac{9}{2}\cdot a_e[/tex3]

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[tex3]\frac{9}{2}\cdot a_e[/tex3]

do polígono, sendo [tex3]a_e[/tex3]

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[tex3]a_e[/tex3]

a medida do ângulo externo. Mas, sabemos que
[tex3]a_e=\frac{360°}{n},[/tex3]

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[tex3]a_e=\frac{360°}{n},[/tex3]

onde n é o número de lados do polígono. Então, teremos,
[tex3]\frac{9}{2}×\frac{360°}{n}=135°\implies n=12[/tex3]

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[tex3]\frac{9}{2}×\frac{360°}{n}=135°\implies n=12[/tex3]

Logo, o polígono tem [tex3]\boxed{12\space lados}[/tex3]

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[tex3]\boxed{12\space lados}[/tex3]

[Gabr7891b]

Não entendi o porquê da correspondência a 9/2, mestre

[Tassandro]

Não entendi o porquê da correspondência a 9/2, mestre

Nós temos 1 mediatriz, o que corrsponde a [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

lado. Como um arco corrsponde a um lado, temos então 4 arcos completos mais metade de um lado. Logo, [tex3]4+\frac{1}{2}=\frac{9}2[/tex3]

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[tex3]4+\frac{1}{2}=\frac{9}2[/tex3]

.

[MateusQqMD]

Outra forma de enxergar:

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[tex3]\begin{align}S a_i \, (ABCDEFG) & = (n-2)180^{\circ} \\ & = (7-2)180^{\circ} = 900^{\circ}.\end{align} [/tex3]

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[tex3]\begin{align}S a_i \, (ABCDEFG) & = (n-2)180^{\circ} \\ & = (7-2)180^{\circ} = 900^{\circ}.\end{align} [/tex3]

Daí,

[tex3]9\alpha = 900^{\circ} - 135^{\circ} - 90^{\circ} \, \therefore \, \alpha = 75^{\circ}.[/tex3]

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[tex3]9\alpha = 900^{\circ} - 135^{\circ} - 90^{\circ} \, \therefore \, \alpha = 75^{\circ}.[/tex3]

Então,

[tex3]a_e (ABCDE...)= 180^{\circ} - a_i \, \therefore \, a_e (ABCDE...)= 30^{\circ}.[/tex3]

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[tex3]a_e (ABCDE...)= 180^{\circ} - a_i \, \therefore \, a_e (ABCDE...)= 30^{\circ}.[/tex3]

Por fim, usando que [tex3]a_e = \frac{360^{\circ}}{n},[/tex3]

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[tex3]a_e = \frac{360^{\circ}}{n},[/tex3]

vem [tex3]n = \frac{360^{\circ}}{30^{\circ}} = 12.[/tex3]

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[tex3]n = \frac{360^{\circ}}{30^{\circ}} = 12.[/tex3]