IME / ITA ⇒ Matrizes Tópico resolvido

[Tassandro]

Seja a matriz [tex3]A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A[/tex3]

tal que
[tex3]A(x)=\left[\begin{array}{col_1 col_2 col_3}
1-x & 0 & x\\
0 & 1 & 0\\
x & 0 & 1-x\\
\end{array}\right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A(x)=\left[\begin{array}{col_1 col_2 col_3}
1-x & 0 & x\\
0 & 1 & 0\\
x & 0 & 1-x\\
\end{array}\right][/tex3]

Encontre uma expressão para [tex3]A(x)^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A(x)^n[/tex3]

.

[Tassandro]

O primeiro item dessa questão, pede para demonstrar que
[tex3]A(a)A(b)=A(a+b-2ab)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A(a)A(b)=A(a+b-2ab)[/tex3]

.
Eu consegui fazer essa demonstração. Mas, mesmo usando esse fato, não consegui fazer essa questão. Quem puder ajudar, agradeço!

[Planck]

Olá, Tassandro.

Podemos efetuar diretamente [tex3]\text A^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text A^2[/tex3]

:

[tex3]A(x)=\left[\begin{array}{col_1 col_2 col_3}
1-x & 0 & x\\
0 & 1 & 0\\
x & 0 & 1-x\\
\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{col_1 col_2 col_3}
1-x & 0 & x\\
0 & 1 & 0\\
x & 0 & 1-x\\
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
2x^2 -2 x + 1 & 0 & -2x^2 + 2x \\
0 & 1 & 0 \\
-2x^2 + 2x & 0 & 2x^2 - 2x +1
\end{array}\right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A(x)=\left[\begin{array}{col_1 col_2 col_3}
1-x & 0 & x\\
0 & 1 & 0\\
x & 0 & 1-x\\
\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{col_1 col_2 col_3}
1-x & 0 & x\\
0 & 1 & 0\\
x & 0 & 1-x\\
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
2x^2 -2 x + 1 & 0 & -2x^2 + 2x \\
0 & 1 & 0 \\
-2x^2 + 2x & 0 & 2x^2 - 2x +1
\end{array}\right][/tex3]

Pelo Teorema de Cayley-Hamilton, segue que:

[tex3]\left|\left[\begin{array}{ccc}1-x & 0 & x\\
0 & 1 & 0\\
x & 0 & 1-x\\ \end{array} \right] - \lambda \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1\end{array} \right]\right| \implies \left|\begin{array}{ccc} 1-x - \lambda& 0 & x\\
0 & 1 - \lambda & 0\\
x & 0 & 1-x - \lambda \\\end{array} \right|=0[/tex3]

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[tex3]\left|\left[\begin{array}{ccc}1-x & 0 & x\\
0 & 1 & 0\\
x & 0 & 1-x\\ \end{array} \right] - \lambda \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1\end{array} \right]\right| \implies \left|\begin{array}{ccc} 1-x - \lambda& 0 & x\\
0 & 1 - \lambda & 0\\
x & 0 & 1-x - \lambda \\\end{array} \right|=0[/tex3]

O determinante será dado por:

[tex3]\begin{align}&-\lambda^3 +3 \lambda^2 - 3 \lambda - 2x \lambda^2 + 4 x \lambda -2x + 1 \implies -\lambda^3 + 3 \lambda^2 - 2x\lambda^2 - 3\lambda + 4x \lambda- 2x +1 \\ \\ &-\lambda^3 + \lambda^2(3-2x) +\lambda(-3+4x)-2x+1 \implies - \text A^3 + \text A^2(3-2x) + \text A(-3+4x) +\text I (-2x +1) = 0 \\ \\
& \text A^{3} = \text A^{2}\cdot (3 -2x) + \text A^{1}\cdot(-3+4x) + \text I\cdot(-2x+1)
\end{align}[/tex3]

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[tex3]\begin{align}&-\lambda^3 +3 \lambda^2 - 3 \lambda - 2x \lambda^2 + 4 x \lambda -2x + 1 \implies -\lambda^3 + 3 \lambda^2 - 2x\lambda^2 - 3\lambda + 4x \lambda- 2x +1 \\ \\ &-\lambda^3 + \lambda^2(3-2x) +\lambda(-3+4x)-2x+1 \implies - \text A^3 + \text A^2(3-2x) + \text A(-3+4x) +\text I (-2x +1) = 0 \\ \\
& \text A^{3} = \text A^{2}\cdot (3 -2x) + \text A^{1}\cdot(-3+4x) + \text I\cdot(-2x+1)
\end{align}[/tex3]

Isso nos garante que:

[tex3]\text A^{n} = \text A^{n-1}\cdot (3 -2x) + \text A^{n-2}\cdot(-3+4x) + \text A^{n-3}\cdot(-2x+1);~ n \ge 3
[/tex3]

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[tex3]\text A^{n} = \text A^{n-1}\cdot (3 -2x) + \text A^{n-2}\cdot(-3+4x) + \text A^{n-3}\cdot(-2x+1);~ n \ge 3
[/tex3]

[Tassandro]

Planck, agradeço pela resposta, mas eu estive pensando em outra solução, pois nunca tinha ouvido falar desse teorema, mas é sempre bom aprender coisas novas.
Infelizmente, eu não consegui terminar minha solução, mas quem puder, agradeço.
Fazendo o [tex3]A(x)^2,A(x)^3[/tex3]

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[tex3]A(x)^2,A(x)^3[/tex3]

, notei um padrão e defini as sequências [tex3]a_n,b_n[/tex3]

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[tex3]a_n,b_n[/tex3]

tais que elas definirão os termos das "pontas" da matriz A. Matematicamente:
[tex3]\left[\begin{array}{col_1 col_2 col_3}
1-x & 0 & x\\
0 & 1 & 0\\
x & 0 & 1-x\\
\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{col_1 col_2 col_3}
a_n & 0 & b_n\\
0 & 1 & 0\\
b_n & 0 & a_n\\
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{col_1 col_2 col_3}
a_{n+1} & 0 & b_{n+1}\\
0 & 1 & 0\\
b_{n+1} & 0 & a_{n+1}\\
\end{array}\right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left[\begin{array}{col_1 col_2 col_3}
1-x & 0 & x\\
0 & 1 & 0\\
x & 0 & 1-x\\
\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{col_1 col_2 col_3}
a_n & 0 & b_n\\
0 & 1 & 0\\
b_n & 0 & a_n\\
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{col_1 col_2 col_3}
a_{n+1} & 0 & b_{n+1}\\
0 & 1 & 0\\
b_{n+1} & 0 & a_{n+1}\\
\end{array}\right][/tex3]

Trabalhando com o produto das matrizes e igualando os termos, encontra-se que
[tex3]a_n+b_n=a_{n+1}+b_{n+1}[/tex3]

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[tex3]a_n+b_n=a_{n+1}+b_{n+1}[/tex3]

O que, através dos valores de [tex3]a_1,b_1[/tex3]

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[tex3]a_1,b_1[/tex3]

, vale [tex3]1-x+x=1[/tex3]

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[tex3]1-x+x=1[/tex3]

Assim, caímos na seguinte equação para a sequência [tex3](a_n)\implies a_{n+1}=-2\cdot x\cdot a_n+x+1[/tex3]

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[tex3](a_n)\implies a_{n+1}=-2\cdot x\cdot a_n+x+1[/tex3]

Gostaria que alguém me ajudasse a calcular o termo geral dessa sequência e da sequência [tex3](b_n)[/tex3]

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[tex3](b_n)[/tex3]

em função apenas de [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

e de [tex3]n.[/tex3]

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[tex3]n.[/tex3]

Agradeço desde já!

[Planck]

pois nunca tinha ouvido falar desse teorema, mas é sempre bom aprender coisas novas.

Esse teorema é mais conhecido no Ensino Superior, com toda certeza essa questão deve sair de outro jeito. Outras formas “distintas”, do mesmo saco que saiu esse teorema, seria diagonalizar a matriz, encontrar autovetores e autovalores... Mas, acredito que não seja o intuito dessa questão!

[Tassandro]

petras,MateusQqMD, CarlosBruno, se algum de vocês puder terminar minha solução, agradeço desde já!

[undefinied3]

[tex3]a_{n+1}=p.a_n+q[/tex3]

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[tex3]a_{n+1}=p.a_n+q[/tex3]

Para a homogênea: [tex3]h_{n+1}=ph_{n}[/tex3]

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[tex3]h_{n+1}=ph_{n}[/tex3]

, cuja equação característica é [tex3]\lambda=p[/tex3]

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[tex3]\lambda=p[/tex3]

, de modo que [tex3]h_n=C.\lambda^n \rightarrow h_n=Cp^n[/tex3]

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[tex3]h_n=C.\lambda^n \rightarrow h_n=Cp^n[/tex3]

Para a particular, chutamos algo da forma [tex3]A.n+B[/tex3]

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[tex3]A.n+B[/tex3]

pelo jeito do termo não homogêneo.
[tex3]An+A+B=pAn+pB+q \rightarrow A=0\ , B=\frac{q}{1-p}[/tex3]

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[tex3]An+A+B=pAn+pB+q \rightarrow A=0\ , B=\frac{q}{1-p}[/tex3]

, então a particular é simplesmente [tex3]\frac{q}{1-p}[/tex3]

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[tex3]\frac{q}{1-p}[/tex3]

A solução geral é a soma das duas soluções. [tex3]a_n=Cp^n+\frac{q}{1-p}[/tex3]

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[tex3]a_n=Cp^n+\frac{q}{1-p}[/tex3]

No seu caso, [tex3]p=-2x ,\ q=x+1[/tex3]

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[tex3]p=-2x ,\ q=x+1[/tex3]

[tex3]a_n=C(-2x)^n+\frac{x+1}{1+2x}[/tex3]

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[tex3]a_n=C(-2x)^n+\frac{x+1}{1+2x}[/tex3]

Aí dependendo de [tex3]a_0[/tex3]

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[tex3]a_0[/tex3]

você determina a constante C.