Se ABC é um triângulo acutângulo, prove que:
[tex3](cosA+cosB)^2 + (cosB+cosC)^2+(cosC+cosA)^2\leq 3[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Desigualdade trigonométrica Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
Tassandro 
- Mensagens: 1905
- Registrado em: Sáb 15 Fev, 2020 17:01
- Última visita: 03-10-23
- Localização: Teresina, PI.
Mar 2020
28
17:12
Re: Desigualdade trigonométrica
Zhadnyy,
Faça [tex3]a^2+b^2-c^2=z, a^2+c^2-b^2=y, b^2+c^2-a^2=x[/tex3]
Pela lei dos cossenos, queremos provar que
[tex3]\sum_{cyc}\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)^2\leq3
[/tex3] , em que [tex3]\sum_{cyc}[/tex3] indica a soma cíclica, a fim de que não escrevamos tanto.
Isso equivale a
[tex3]\sum_{cyc}\left(\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{\sqrt{(x+y)(y+z)}}\right)^2\leq3
[/tex3]
O que, por sua vez, é igual a
[tex3]\sum_{cyc}(x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z})^2\leq3\prod_{cyc}(x+y)
[/tex3]
O que nos dá:
[tex3]\sum_{cyc}\left(2x^2y+2x^2z+2xy\sqrt{(x+z)(y+z)}\right)\leq\sum_{cyc}(3x^2y+3x^2z+2xyz)
[/tex3]
Assim, temos
[tex3]2\sum_{cyc}xy\sqrt{(x+z)(y+z)}\leq\sum_{cyc}(x^2y+x^2z+2xyz),
[/tex3]
O que é verdade pela desigualdade das médias:
[tex3]2\sum_{cyc}xy\sqrt{(x+z)(y+z)}\leq\sum_{cyc}xy(x+z+y+z)=\sum_{cyc}(x^2y+x^2z+2xyz).
[/tex3]
Portanto,
[tex3](cosA+cosB)^2 + (cosB+cosC)^2+(cosC+cosA)^2\leq 3[/tex3]
[tex3]Q.E.D.\blacksquare [/tex3]
Faça [tex3]a^2+b^2-c^2=z, a^2+c^2-b^2=y, b^2+c^2-a^2=x[/tex3]
Pela lei dos cossenos, queremos provar que
[tex3]\sum_{cyc}\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)^2\leq3
[/tex3] , em que [tex3]\sum_{cyc}[/tex3] indica a soma cíclica, a fim de que não escrevamos tanto.
Isso equivale a
[tex3]\sum_{cyc}\left(\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{\sqrt{(x+y)(y+z)}}\right)^2\leq3
[/tex3]
O que, por sua vez, é igual a
[tex3]\sum_{cyc}(x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z})^2\leq3\prod_{cyc}(x+y)
[/tex3]
O que nos dá:
[tex3]\sum_{cyc}\left(2x^2y+2x^2z+2xy\sqrt{(x+z)(y+z)}\right)\leq\sum_{cyc}(3x^2y+3x^2z+2xyz)
[/tex3]
Assim, temos
[tex3]2\sum_{cyc}xy\sqrt{(x+z)(y+z)}\leq\sum_{cyc}(x^2y+x^2z+2xyz),
[/tex3]
O que é verdade pela desigualdade das médias:
[tex3]2\sum_{cyc}xy\sqrt{(x+z)(y+z)}\leq\sum_{cyc}xy(x+z+y+z)=\sum_{cyc}(x^2y+x^2z+2xyz).
[/tex3]
Portanto,
[tex3](cosA+cosB)^2 + (cosB+cosC)^2+(cosC+cosA)^2\leq 3[/tex3]
[tex3]Q.E.D.\blacksquare [/tex3]
Dias de luta, dias de glória.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 1 Respostas
- 192 Exibições
-
Última msg por Carlosft57
-
- 1 Respostas
- 529 Exibições
-
Última msg por csmarcelo
-
- 1 Respostas
- 300 Exibições
-
Última msg por Carlosft57
-
- 1 Respostas
- 422 Exibições
-
Última msg por LostWalker
-
- 1 Respostas
- 281 Exibições
-
Última msg por παθμ
