Se ABC é um triângulo acutângulo, prove que:
[tex3](cosA+cosB)^2 + (cosB+cosC)^2+(cosC+cosA)^2\leq 3[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Prof. Caju
Ensino Médio ⇒ Desigualdade trigonométrica Tópico resolvido
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Tassandro
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Mar 2020
28
17:12
Re: Desigualdade trigonométrica
Zhadnyy,
Faça [tex3]a^2+b^2-c^2=z, a^2+c^2-b^2=y, b^2+c^2-a^2=x[/tex3]
Pela lei dos cossenos, queremos provar que
[tex3]\sum_{cyc}\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)^2\leq3
[/tex3] , em que [tex3]\sum_{cyc}[/tex3] indica a soma cíclica, a fim de que não escrevamos tanto.
Isso equivale a
[tex3]\sum_{cyc}\left(\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{\sqrt{(x+y)(y+z)}}\right)^2\leq3
[/tex3]
O que, por sua vez, é igual a
[tex3]\sum_{cyc}(x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z})^2\leq3\prod_{cyc}(x+y)
[/tex3]
O que nos dá:
[tex3]\sum_{cyc}\left(2x^2y+2x^2z+2xy\sqrt{(x+z)(y+z)}\right)\leq\sum_{cyc}(3x^2y+3x^2z+2xyz)
[/tex3]
Assim, temos
[tex3]2\sum_{cyc}xy\sqrt{(x+z)(y+z)}\leq\sum_{cyc}(x^2y+x^2z+2xyz),
[/tex3]
O que é verdade pela desigualdade das médias:
[tex3]2\sum_{cyc}xy\sqrt{(x+z)(y+z)}\leq\sum_{cyc}xy(x+z+y+z)=\sum_{cyc}(x^2y+x^2z+2xyz).
[/tex3]
Portanto,
[tex3](cosA+cosB)^2 + (cosB+cosC)^2+(cosC+cosA)^2\leq 3[/tex3]
[tex3]Q.E.D.\blacksquare [/tex3]
Faça [tex3]a^2+b^2-c^2=z, a^2+c^2-b^2=y, b^2+c^2-a^2=x[/tex3]
Pela lei dos cossenos, queremos provar que
[tex3]\sum_{cyc}\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)^2\leq3
[/tex3] , em que [tex3]\sum_{cyc}[/tex3] indica a soma cíclica, a fim de que não escrevamos tanto.
Isso equivale a
[tex3]\sum_{cyc}\left(\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{\sqrt{(x+y)(y+z)}}\right)^2\leq3
[/tex3]
O que, por sua vez, é igual a
[tex3]\sum_{cyc}(x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z})^2\leq3\prod_{cyc}(x+y)
[/tex3]
O que nos dá:
[tex3]\sum_{cyc}\left(2x^2y+2x^2z+2xy\sqrt{(x+z)(y+z)}\right)\leq\sum_{cyc}(3x^2y+3x^2z+2xyz)
[/tex3]
Assim, temos
[tex3]2\sum_{cyc}xy\sqrt{(x+z)(y+z)}\leq\sum_{cyc}(x^2y+x^2z+2xyz),
[/tex3]
O que é verdade pela desigualdade das médias:
[tex3]2\sum_{cyc}xy\sqrt{(x+z)(y+z)}\leq\sum_{cyc}xy(x+z+y+z)=\sum_{cyc}(x^2y+x^2z+2xyz).
[/tex3]
Portanto,
[tex3](cosA+cosB)^2 + (cosB+cosC)^2+(cosC+cosA)^2\leq 3[/tex3]
[tex3]Q.E.D.\blacksquare [/tex3]
Dias de luta, dias de glória.
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