IME / ITA ⇒ Desigualdade trigonométrica Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Em um triângulo ABC acutângulo, prove que:

[tex3]cos\left(\frac{B-C}{2}\right)cos\left(\frac{C-A}{2}\right)cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \geq senAsenBsenC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos\left(\frac{B-C}{2}\right)cos\left(\frac{C-A}{2}\right)cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \geq senAsenBsenC[/tex3]

[Tassandro]

Zhadnyy, essa é muito interessante!
Vamos aplicar a desigualdade das médias [tex3](MA\geq MG)[/tex3]

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[tex3](MA\geq MG)[/tex3]

[tex3]\cos\left(\frac{B-C}{2}\right)=\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}+\sin\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\geq2\sqrt{\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos\left(\frac{B-C}{2}\right)=\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}+\sin\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\geq2\sqrt{\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}[/tex3]

Analogamente,
[tex3]\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)=\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}+\sin\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\geq2\sqrt{\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)=\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}+\sin\frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\geq2\sqrt{\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}}[/tex3]

E [tex3]\cos\left(\frac{C-A}{2}\right)=\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A}{2}+\sin\frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}\geq2\sqrt{\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos\left(\frac{C-A}{2}\right)=\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A}{2}+\sin\frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}\geq2\sqrt{\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}}[/tex3]

Agora, vamos multiplicar as expressões encontradas, sabendo que todas as variáveis são positivas e usando que [tex3]\sin x\cos x=\frac{\sin2x}{2}[/tex3]

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[tex3]\sin x\cos x=\frac{\sin2x}{2}[/tex3]

Encontramos a expressão que queríamos demonstrar, ou seja,
[tex3]\boxed{\boxed{cos\left(\frac{B-C}{2}\right)cos\left(\frac{C-A}{2}\right)cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \geq senAsenBsenC}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{cos\left(\frac{B-C}{2}\right)cos\left(\frac{C-A}{2}\right)cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \geq senAsenBsenC}}[/tex3]

[tex3]Q.E.D.\blacksquare[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Q.E.D.\blacksquare[/tex3]