IME / ITA ⇒ Desigualdade trigonométrica Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Mostre que o máximo e o mínimo valor de

[tex3]acos^2x+2b.senx.cosx+csen^2x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]acos^2x+2b.senx.cosx+csen^2x[/tex3]

são as raízes de [tex3](x-a)(x-c)=b^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-a)(x-c)=b^2[/tex3]

[undefinied3]

[tex3]acos^2x+bsen(2x)+c(1-cos^2(x))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]acos^2x+bsen(2x)+c(1-cos^2(x))[/tex3]

[tex3](a-c)cos^2(x)+bsen(2x)+c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a-c)cos^2(x)+bsen(2x)+c[/tex3]

[tex3](a-c)cos^2(x)-\frac{a-c}{2}+bsen(2x)+\frac{a-c}{2}+c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a-c)cos^2(x)-\frac{a-c}{2}+bsen(2x)+\frac{a-c}{2}+c[/tex3]

[tex3]\frac{(a-c)}{2}cos(2x)+bsen(2x)+\frac{a+c}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(a-c)}{2}cos(2x)+bsen(2x)+\frac{a+c}{2}[/tex3]

[tex3]\sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2}.sen(2x+\theta)+\frac{a+c}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2}.sen(2x+\theta)+\frac{a+c}{2}[/tex3]

Então [tex3]\frac{a+c}{2}-\sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2} \leq y \leq \frac{a+c}{2}+\sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a+c}{2}-\sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2} \leq y \leq \frac{a+c}{2}+\sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2}[/tex3]

Verificando a equação quadrática fornecida:
[tex3]x^2-(a+c)x+ac-b^2=0 \rightarrow x=\frac{a+c}{2} \pm \frac{\sqrt{a^2+2ac+c^2-4ac+4b^2}}{2}=\frac{a+c}{2}\pm \sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2-(a+c)x+ac-b^2=0 \rightarrow x=\frac{a+c}{2} \pm \frac{\sqrt{a^2+2ac+c^2-4ac+4b^2}}{2}=\frac{a+c}{2}\pm \sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2}[/tex3]

[Deleted User 23699]

undefinied3 ,

[tex3]\sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2}.sen(2x+\theta)+\frac{a+c}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2}.sen(2x+\theta)+\frac{a+c}{2}[/tex3]

Sei que existe um "Teorema" que diz que toda expressão da forma asenx + bcosx , a e b reais, pode ser escrita da forma ksen(x+theta)

Vi que você fez isso.
Todavia, não sei como calculo o k.
Como você chegou nisso?

[Tassandro]

undefinied3 ,

[tex3]\sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2}.sen(2x+\theta)+\frac{a+c}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2}.sen(2x+\theta)+\frac{a+c}{2}[/tex3]

Sei que existe um "Teorema" que diz que toda expressão da forma asenx + bcosx , a e b reais, pode ser escrita da forma ksen(x+theta)

Vi que você fez isso.
Todavia, não sei como calculo o k.
Como você chegou nisso?

Zhadnyy,

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