Mostre que o máximo e o mínimo valor de
[tex3]acos^2x+2b.senx.cosx+csen^2x[/tex3]
são as raízes de [tex3](x-a)(x-c)=b^2[/tex3]
IME / ITA ⇒ Desigualdade trigonométrica Tópico resolvido
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Mar 2020
24
14:05
Re: Desigualdade trigonométrica
[tex3]acos^2x+bsen(2x)+c(1-cos^2(x))[/tex3]
[tex3](a-c)cos^2(x)+bsen(2x)+c[/tex3]
[tex3](a-c)cos^2(x)-\frac{a-c}{2}+bsen(2x)+\frac{a-c}{2}+c[/tex3]
[tex3]\frac{(a-c)}{2}cos(2x)+bsen(2x)+\frac{a+c}{2}[/tex3]
[tex3]\sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2}.sen(2x+\theta)+\frac{a+c}{2}[/tex3]
Então [tex3]\frac{a+c}{2}-\sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2} \leq y \leq \frac{a+c}{2}+\sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2}[/tex3]
Verificando a equação quadrática fornecida:
[tex3]x^2-(a+c)x+ac-b^2=0 \rightarrow x=\frac{a+c}{2} \pm \frac{\sqrt{a^2+2ac+c^2-4ac+4b^2}}{2}=\frac{a+c}{2}\pm \sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2}[/tex3]
[tex3](a-c)cos^2(x)+bsen(2x)+c[/tex3]
[tex3](a-c)cos^2(x)-\frac{a-c}{2}+bsen(2x)+\frac{a-c}{2}+c[/tex3]
[tex3]\frac{(a-c)}{2}cos(2x)+bsen(2x)+\frac{a+c}{2}[/tex3]
[tex3]\sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2}.sen(2x+\theta)+\frac{a+c}{2}[/tex3]
Então [tex3]\frac{a+c}{2}-\sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2} \leq y \leq \frac{a+c}{2}+\sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2}[/tex3]
Verificando a equação quadrática fornecida:
[tex3]x^2-(a+c)x+ac-b^2=0 \rightarrow x=\frac{a+c}{2} \pm \frac{\sqrt{a^2+2ac+c^2-4ac+4b^2}}{2}=\frac{a+c}{2}\pm \sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2}[/tex3]
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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Mar 2020
24
14:15
Re: Desigualdade trigonométrica
undefinied3 ,
Vi que você fez isso.
Todavia, não sei como calculo o k.
Como você chegou nisso?
Sei que existe um "Teorema" que diz que toda expressão da forma asenx + bcosx , a e b reais, pode ser escrita da forma ksen(x+theta)undefinied3 escreveu: ↑Ter 24 Mar, 2020 14:05[tex3]\sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2}.sen(2x+\theta)+\frac{a+c}{2}[/tex3]
Vi que você fez isso.
Todavia, não sei como calculo o k.
Como você chegou nisso?
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Mar 2020
24
14:22
Re: Desigualdade trigonométrica
Zhadnyy,Zhadnyy escreveu: ↑Ter 24 Mar, 2020 14:15undefinied3 ,Sei que existe um "Teorema" que diz que toda expressão da forma asenx + bcosx , a e b reais, pode ser escrita da forma ksen(x+theta)undefinied3 escreveu: ↑Ter 24 Mar, 2020 14:05[tex3]\sqrt{\frac{(a-c)^2}{4}+b^2}.sen(2x+\theta)+\frac{a+c}{2}[/tex3]
Vi que você fez isso.
Todavia, não sei como calculo o k.
Como você chegou nisso?
Dias de luta, dias de glória.
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