Demonstre que
[tex3]17 - 2\sqrt{2}\leq tg3x.cotg^3x\leq 17+2\sqrt{2}[/tex3]
OBS: No exercício não é dada restrição nenhuma.
IME / ITA ⇒ Desigualdade trigonométrica Tópico resolvido
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undefinied3 
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Mar 2020
24
13:40
Re: Desigualdade trigonométrica
[tex3]tg(3x)=\frac{3tg(x)-tg^3(x)}{1-3tg^2(x)}[/tex3]
[tex3]tg(3x)cotg^3(x)=\frac{3cotg^2(x)-1}{1-3tg^2(x)}=\frac{\frac{3}{y^2}-1}{1-3y^2}=\frac{3-y^2}{y^2-3y^4}=k[/tex3]
[tex3]3ky^4-(k+1)y^2+3=0[/tex3]
Então impomos [tex3]\Delta \leq 0 \rightarrow k^2-34k+1 \leq 0 \rightarrow 17-2\sqrt{2} \geq tg(3x)cotg^3(x) \leq 17+2\sqrt{2}[/tex3]
A imposição de delta negativo é porque devemos ter [tex3]y^2 \geq 0[/tex3] , o que acontece para uma parábola com concavidade positiva que não cruze o eixo x, ou seja, [tex3]k \geq 0[/tex3] com [tex3]\Delta \leq 0[/tex3] .
[tex3]tg(3x)cotg^3(x)=\frac{3cotg^2(x)-1}{1-3tg^2(x)}=\frac{\frac{3}{y^2}-1}{1-3y^2}=\frac{3-y^2}{y^2-3y^4}=k[/tex3]
[tex3]3ky^4-(k+1)y^2+3=0[/tex3]
Então impomos [tex3]\Delta \leq 0 \rightarrow k^2-34k+1 \leq 0 \rightarrow 17-2\sqrt{2} \geq tg(3x)cotg^3(x) \leq 17+2\sqrt{2}[/tex3]
A imposição de delta negativo é porque devemos ter [tex3]y^2 \geq 0[/tex3] , o que acontece para uma parábola com concavidade positiva que não cruze o eixo x, ou seja, [tex3]k \geq 0[/tex3] com [tex3]\Delta \leq 0[/tex3] .
Última edição: undefinied3 (Ter 24 Mar, 2020 13:53). Total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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