IME / ITA ⇒ Produtos notáveis e fatoração

[Duartealém]

Prove que os números da forma
111...113555...5569
com n 1's e n-1 5's são quadrados perfeitos.


Tem em uma da listas do rumo ao ITA. https://rumoaoita.com/wp-content/upload ... ao_ita.pdf

[poisedom]

[tex3]=\dfrac{10^{2n+2}-1}{9}-\dfrac{10^{n+2}-1}{9}+3\cdot10^{n+1}+5(\dfrac{10^{n+1}-1}{9}-11)+69[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=\dfrac{10^{2n+2}-1}{9}-\dfrac{10^{n+2}-1}{9}+3\cdot10^{n+1}+5(\dfrac{10^{n+1}-1}{9}-11)+69[/tex3]

111...113555...5569 com n 1's e n-1 5's=[tex3]=\dfrac{10^{2(n+1)}-1-10\cdot 10^{n+1}+1+27\cdot10^{n+1}+5\cdot10^{n+1}-5-495+621}{9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=\dfrac{10^{2(n+1)}-1-10\cdot 10^{n+1}+1+27\cdot10^{n+1}+5\cdot10^{n+1}-5-495+621}{9}[/tex3]

[tex3]=\dfrac{(10^{n+1})^2+22\cdot10^{n+1}+121}{9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=\dfrac{(10^{n+1})^2+22\cdot10^{n+1}+121}{9}[/tex3]

[tex3]=\dfrac{(10^{n+1})^2+2\cdot11\cdot10^{n+1}+11^2}{3^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=\dfrac{(10^{n+1})^2+2\cdot11\cdot10^{n+1}+11^2}{3^2}[/tex3]

[tex3]=\dfrac{(10^{n+1}+11)^2}{3^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=\dfrac{(10^{n+1}+11)^2}{3^2}[/tex3]

[tex3]=\bigg(\dfrac{10^{n+1}+11}{3}\bigg)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=\bigg(\dfrac{10^{n+1}+11}{3}\bigg)^2[/tex3]

[rodBR]

Para sua prova ficar completa falta apenas justificar que [tex3]\frac{10^{n+1}+11}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{10^{n+1}+11}{3}[/tex3]

é um inteiro positivo (Natural).