IME / ITA ⇒ Desigualdade trigonométrica Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Demonstre que

a) [tex3]sen^{8} \alpha + cos^8\alpha \geq \frac{1}{8}[/tex3]

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[tex3]sen^{8} \alpha + cos^8\alpha \geq \frac{1}{8}[/tex3]

b) [tex3]sen^{2n}\alpha + cos^{2n} \alpha \leq 1[/tex3]

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[tex3]sen^{2n}\alpha + cos^{2n} \alpha \leq 1[/tex3]

A segunda questão é inspirada numa questão do Lidski, onde ele pede para encontrar os valores que verificam a igualdade ( = 1 ). Se inspirar alguém, a resolução dessa, no Lidski, é via desenvolvimento do binômio de Newton.

[Deleted User 23699]

b) Pelo desenvolvimento do binômio de Newton
1 = sen^2n alfa + cos^2n alfa + phi
Seja phi todos os outros termos do desenvolvimento do binômio de Newton que não me interessam
Sei que phi pode ser maior ou igual a zero, pois os dois termos do nosso binômio são elevados ao quadrado (sen^2 e cos^2)

1 - phi = sen^2n alfa + cos^2n alfa
1 > ou igual a sen^2n alfa + cos^2n alfa

[Deleted User 23699]

a)
Elevando sen^2 + cos^2 = 1 ao quadrado duas vezes, chegamos numa equação que pode ser simplificada para virar um polinômio em função de sen(2x)
Por derivadas podemos calcular os extremantes
Nota-se que 1/8 é ponto de mínimo absoluto da função

Alguém saberia resolver sem cálculo?

[Tassandro]

Seja [tex3]y=\sin^8x+\cos^8x[/tex3]

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[tex3]y=\sin^8x+\cos^8x[/tex3]

Agora, vamos colocar tudo em função do [tex3]\sin2x[/tex3]

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[tex3]\sin2x[/tex3]

[tex3]y=(\sin^4x\cos^4x)^2-2(\sin x\cos x)^4=[(\sin^2x+\cos^2x)^2-2(\sin x\cos x)^2]^2-2(\sin x\cos x)^4[/tex3]

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[tex3]y=(\sin^4x\cos^4x)^2-2(\sin x\cos x)^4=[(\sin^2x+\cos^2x)^2-2(\sin x\cos x)^2]^2-2(\sin x\cos x)^4[/tex3]

[tex3]=[1-2(\sin x\cos x)^2]^2-2(\sin x\cos x)^4=(1-\frac{1}{2}\sin^22x)^2-\frac{1}{8}\sin^42x[/tex3]

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[tex3]=[1-2(\sin x\cos x)^2]^2-2(\sin x\cos x)^4=(1-\frac{1}{2}\sin^22x)^2-\frac{1}{8}\sin^42x[/tex3]

Após algumas simplificações,
[tex3]y=1+\frac{1}{8}\sin^42x-\sin^22x[/tex3]

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[tex3]y=1+\frac{1}{8}\sin^42x-\sin^22x[/tex3]

Agora, perceba que [tex3]y[/tex3] será mínimo quando [tex3]\sin 2x[/tex3] for máximo, ou seja, quando [tex3]\sin 2x=1[/tex3], daí:
[tex3]y_{min}=1+\frac{1}{8}-1=\frac{1}{8}[/tex3]

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[tex3]y_{min}=1+\frac{1}{8}-1=\frac{1}{8}[/tex3]

[tex3]Q.E.D.\blacksquare[/tex3]

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[tex3]Q.E.D.\blacksquare[/tex3]

Essa foi minha tentativa, Zhadnyy.

[Tassandro]

Nós podemos raciocinar que
[tex3]\sin^{2n}x[/tex3]

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[tex3]\sin^{2n}x[/tex3]

é um valor que diminui ou, no máximo, vale [tex3]1[/tex3]

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[tex3]1[/tex3]

, à medida que [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

aumenta, dado que [tex3]-1\leq\sin x\leq1[/tex3]

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[tex3]-1\leq\sin x\leq1[/tex3]

.

[mcarvalho]

Será que chegaríamos em algo com o raciocínio abaixo?

[tex3]y=\sen^2 \alpha\\y^4+\cos ^8\alpha\ge \frac 18\\y^4+(1-y)^4\ge \frac 18\\2y^4-4y^3+4y^2-4y+\frac 78\ge0[/tex3]

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[tex3]y=\sen^2 \alpha\\y^4+\cos ^8\alpha\ge \frac 18\\y^4+(1-y)^4\ge \frac 18\\2y^4-4y^3+4y^2-4y+\frac 78\ge0[/tex3]

Daí se alguém tiver a coragem de achar as raízes disso (talvez por busca de raízes racionais?).

[Deleted User 23699]

a)
Na mesma questão existia uma alternativa para provar que sen^4 (x) + cos^4 (x) > ou igual a 1/2. Para provar isso, por ser expoente pequeno, basta fatorar e ir simplificando (é uma prova bem mais simples, na potencia 4 e potencia 6). Usando isso, aplicamos a desigualdade das médias (média quadrática é maior ou igual que a média aritmética):

[tex3]\sqrt{\frac{sen^8\alpha + cos^8\alpha}{2}}\geq \frac{sen^4\alpha+cos^4\alpha}{2} \geq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right) \\ [/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{sen^8\alpha + cos^8\alpha}{2}}\geq \frac{sen^4\alpha+cos^4\alpha}{2} \geq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right) \\ [/tex3]

Elevando ao quadrado a raiz quadrática e o último termo, chegamos facilmente em

[tex3]sen^8\alpha + cos^8\alpha \geq \frac{1}{8}[/tex3]

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[tex3]sen^8\alpha + cos^8\alpha \geq \frac{1}{8}[/tex3]

CQD

Acredito que possa ocorrer generalização para expoente 2n.