IME / ITA ⇒ Desigualdade de Jensen? Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Sabe-se que 0 < a1 < a2 < ... < an < pi/2 . Prove que

[tex3]\tg (a1)<\frac{\sen (a1) + \sen(a2) + ... + \sen(an)}{\cos(a1)+\cos(a2)+...+\cos(an)} < \tg(an)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tg (a1)<\frac{\sen (a1) + \sen(a2) + ... + \sen(an)}{\cos(a1)+\cos(a2)+...+\cos(an)} < \tg(an)[/tex3]

Resolução imaginada, gostaria de saber se está correta e/ou possuem outras resoluções para esse problema.
Pela desigualdade de Jensen, no domínio dado, sei que a função seno e a função cosseno são funções côncavas. Com isso, posso falar sobre suas propriedades!

[tex3]\left(\frac{\sen(a1)+...+\sen(an)}{N}\right)\leq \sen\left(\frac{(a1)+...(an)}{N}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{\sen(a1)+...+\sen(an)}{N}\right)\leq \sen\left(\frac{(a1)+...(an)}{N}\right)[/tex3]

A mesma coisa para cosseno...

[tex3]\left(\frac{\cos(a1)+...+\cos(an)}{N}\right)\leq \cos\left(\frac{(a1)+...+(an)}{N}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{\cos(a1)+...+\cos(an)}{N}\right)\leq \cos\left(\frac{(a1)+...+(an)}{N}\right)[/tex3]

Se todos os cossenos são positivos, a soma deles também será positiva. A mesma coisa para senos. O único modo que vejo para usar isso é dividir ambas as desigualdades, aproveitando que tudo é positivo (nessa parte tenho dúvidas da possibilidade). Além disso, sabemos que a média aritmética dos argumentos está entre a1 e an (princípio das médias).
Todavia, dividindo, vejo que seria provado que essa fração é menor do que a tangente de an. Entretanto, não vejo como isso poderia provar que isso é maior do que a tangente de a1.

Gostaria de saber se minha solução está adequada e se existem outras soluções possíveis, sem usar a desigualdade de Jensen.

[Deleted User 23699]

Descobri que essa questão, que peguei no livro 5 do Rufino, é copiada do livro do Lidski (Problemas de Matemática Elementar)
Segue a resolução:
Se a < b < c
tg a < tg b < tg c
Como b está no primeiro quadrante, cos b > 0
Por isso, posso fazer
tg a . cos b < sen b < tg c . cos c
Se eu fizer isso para todos os n (a1, a2, a3, a4, a5... an)
tg a1 . cos (an) < sen (an) < tg (an) cos (an)
Somando tudo

tg a1 . cos (a1) < sen (a1) < tg (an) cos(a1)
tg a1 . cos (a2) < sen (a2) < tg (an) cos(a2)
tg a1 . cos (a3) < sen (a3) < tg (an) cos(a3)
...
Somando tudo, o que é permitido para desigualdades,
tg a1 (cos a1 + cos a2 + cos a3 + ... + cos an) < sen (a1) + sen (a2) + ... + sen (an) < tg (an) (cos a1 + cos a2 + cos a3 + ... + cos an)
Basta dividirmos tudo por (cos a1 + cos a2 + cos a3 + ... + cos an) e temos a desigualdade a ser provada

CQD