IME / ITA ⇒ Desigualdade trigonométrica Tópico resolvido
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12:18
Desigualdade trigonométrica
Demonstre que
a) tg x > x , 0 < x < pi/2
b) tg a - a < tg b - b , 0 < a < b < pi/2
c) a - sen a < b - tg b , 0 < a < b < pi/2
As duas primeiras consegui visualizar via funções. Todavia, creio que uma demonstração precisa ser mais exata. A ideia que tive foi: o crescimento da função tangente é aproximadamente exponencial, com isso consigo analisar bem as duas primeiras. A primeira, creio que saia por desigualdade triangular, todavia não consegui PROVAR MATEMATICAMENTE, com TERMOS ALGÉBRICOS.
As duas primeiras fiz "no olho" e "explicações". Na prova, entretanto, perderia pontos!
a) tg x > x , 0 < x < pi/2
b) tg a - a < tg b - b , 0 < a < b < pi/2
c) a - sen a < b - tg b , 0 < a < b < pi/2
As duas primeiras consegui visualizar via funções. Todavia, creio que uma demonstração precisa ser mais exata. A ideia que tive foi: o crescimento da função tangente é aproximadamente exponencial, com isso consigo analisar bem as duas primeiras. A primeira, creio que saia por desigualdade triangular, todavia não consegui PROVAR MATEMATICAMENTE, com TERMOS ALGÉBRICOS.
As duas primeiras fiz "no olho" e "explicações". Na prova, entretanto, perderia pontos!
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Mar 2020
23
14:02
Re: Desigualdade trigonométrica
Vou responder a letra a por enquanto.
[tex3]\tan t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{IZ}{1}\implies \tan t=IZ[/tex3]
Agora, veja que
[tex3]t=\text{medida do arco IQ}[/tex3]
Seja [tex3][OIQ]=\frac{t}{2π}\cdotπ\cdot1^2=\frac{t}{2}[/tex3] a área do setor circular determinado por [tex3]OIQ[/tex3]
Agora, a área do triângulo OIZ será
[tex3][OIZ]=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \tan t[/tex3]
É evidente que
[tex3]\sin t< t<\tan t[/tex3] , para [tex3]0< t<\frac{π}{2}[/tex3]
Ou seja, [tex3]\boxed{\tan t> t}[/tex3]
[tex3]C.Q.D.\blacksquare[/tex3]
Também podemos mostrar utilizando cálculo através da função [tex3]f(x)=x-\tan x[/tex3] ,
Cuja derivada é [tex3]f'(x)=1-\sec^2x=-\tan^2x\leq0\implies \text{f(x) decresce para 0< x<π /2}\implies f(0)>f(x)\iff f(x)<0[/tex3] .
Note que [tex3]\tan t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{IZ}{1}\implies \tan t=IZ[/tex3]
Agora, veja que
[tex3]t=\text{medida do arco IQ}[/tex3]
Seja [tex3][OIQ]=\frac{t}{2π}\cdotπ\cdot1^2=\frac{t}{2}[/tex3] a área do setor circular determinado por [tex3]OIQ[/tex3]
Agora, a área do triângulo OIZ será
[tex3][OIZ]=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \tan t[/tex3]
É evidente que
[tex3]\sin t< t<\tan t[/tex3] , para [tex3]0< t<\frac{π}{2}[/tex3]
Ou seja, [tex3]\boxed{\tan t> t}[/tex3]
[tex3]C.Q.D.\blacksquare[/tex3]
Também podemos mostrar utilizando cálculo através da função [tex3]f(x)=x-\tan x[/tex3] ,
Cuja derivada é [tex3]f'(x)=1-\sec^2x=-\tan^2x\leq0\implies \text{f(x) decresce para 0< x<π /2}\implies f(0)>f(x)\iff f(x)<0[/tex3] .
Última edição: Tassandro (Seg 23 Mar, 2020 14:03). Total de 1 vez.
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Mar 2020
23
14:08
Re: Desigualdade trigonométrica
Para o item b:
Penso que através de um desenho ficaria melhor.
Penso que através de um desenho ficaria melhor.
Última edição: Tassandro (Seg 23 Mar, 2020 14:47). Total de 3 vezes.
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23
14:13
Re: Desigualdade trigonométrica
Finalmente, para a letra c, usando que
[tex3]a>\sin a, \space \text{como encontramos no item a}[/tex3]
[tex3]\tan b>b[/tex3]
Somando as duas:
[tex3]a+\tan b>\sin a+b\iff a-\sin a>b-\tan b[/tex3] , para [tex3]0< a< b< \frac{π}{2}[/tex3]
[tex3]Q.E.D.\blacksquare[/tex3]
[tex3]a>\sin a, \space \text{como encontramos no item a}[/tex3]
[tex3]\tan b>b[/tex3]
Somando as duas:
[tex3]a+\tan b>\sin a+b\iff a-\sin a>b-\tan b[/tex3] , para [tex3]0< a< b< \frac{π}{2}[/tex3]
[tex3]Q.E.D.\blacksquare[/tex3]
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14:16
Re: Desigualdade trigonométrica
Vc possui algum material de referencia que possa me provar que isso é verdade?
Nunca vi isso. Só sei que é permitido subtrair um mesmo termo dos dois lados da mesma inequação, e não subtrair inequações.
Na própria coleção do Rufino, de onde tirei esse problema, não aparece essa propriedade.
A mesma coisa para a C.
Última edição: Deleted User 23699 (Seg 23 Mar, 2020 14:17). Total de 1 vez.
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23
14:30
Re: Desigualdade trigonométrica
A soma é permitida se todos forem positivos, o que é o nosso caso. Por exemplo,
[tex3]3>0[/tex3]
[tex3]2>1[/tex3]
[tex3]5>1[/tex3]
[tex3]3>0[/tex3]
[tex3]2>1[/tex3]
[tex3]5>1[/tex3]
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23
14:36
Re: Desigualdade trigonométrica
Precipitei-me, perdão pelo grave erro.
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14:59
Re: Desigualdade trigonométrica
Usando o fato de que a função tangente é estritamente crescente no primeiro quadrante e a fórmula de [tex3]\tan(b-a)=\frac{\tan b- \tan a}{1+ \tan b\cdot\tan a}[/tex3], e como o denominador é maior que [tex3]1\implies\tan(b-a)< \tan b-\tan a[/tex3], e [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são valores positivos, podemos fazer:
[tex3]b-a<\tan(b-a)<\tan b-\tan a\implies \tan a-a<\tan b-b[/tex3]
[tex3]\blacksquare[/tex3]
Zhadnyy, agora está certo, eu penso.
[tex3]b-a<\tan(b-a)<\tan b-\tan a\implies \tan a-a<\tan b-b[/tex3]
[tex3]\blacksquare[/tex3]
Zhadnyy, agora está certo, eu penso.
Última edição: Tassandro (Seg 23 Mar, 2020 15:00). Total de 1 vez.
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