a)p³+q²>0
b)4p²+27q²>0
c)4p³+27q²<0
d)27p³+4p²<0
e)27q³+4q²>0
Resposta
c
IME / ITA ⇒ Simulado-Ita-Equação
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mar 2020
23
09:41
Simulado-Ita-Equação
Qual será a condição necessária e suficiente para que a equação x³+px+q=0 admita raízes reais e diferentes?
a)p³+q²>0
b)4p²+27q²>0
c)4p³+27q²<0
d)27p³+4p²<0
e)27q³+4q²>0
c
a)p³+q²>0
b)4p²+27q²>0
c)4p³+27q²<0
d)27p³+4p²<0
e)27q³+4q²>0
c
-
Tassandro 
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Mar 2020
23
10:52
Re: Simulado-Ita-Equação
Vamos lá!
Faça a substituição
[tex3]x=a+b\implies x^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=a^3+b^3+3abx[/tex3]
Agora, substituindo na equação inicial, teremos que
[tex3]x^3+px+q=a^3+b^3+(a+b)(3ab+p)+q=0[/tex3] .
Como existem infinitos valores de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] tais que [tex3]a+b=x[/tex3], portanto, vamos escolher o par [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] tal que [tex3]a^3+b^3=-q[/tex3].
Assim, nossa equação se reduz a
[tex3](a+b)(3ab+p)=0[/tex3]
Não vamos considerar o caso em que [tex3]a+b=0[/tex3]
Logo, [tex3]3ab+p=0\implies ab=-\frac{p}{3}\implies a^3b^3=-\frac{p^3}{27}[/tex3] , o que somado ao fato de [tex3]a^3+b^3=-q[/tex3] , nos permite escrever um polinômio de segundo grau
[tex3]c^2+qc-\frac{p^3}{27}=0[/tex3] , cujas raízes [tex3]a^3[/tex3] e [tex3]b^3[/tex3] .
Para que a equação inicial tenha raízes reais e distintas, devemos ter o discriminante dessa equação em [tex3]c[/tex3] menor do que [tex3]0[/tex3] , o que nos dá [tex3]4p^3+27q^2<0[/tex3]
[tex3][/tex3]
Faça a substituição
[tex3]x=a+b\implies x^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=a^3+b^3+3abx[/tex3]
Agora, substituindo na equação inicial, teremos que
[tex3]x^3+px+q=a^3+b^3+(a+b)(3ab+p)+q=0[/tex3] .
Como existem infinitos valores de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] tais que [tex3]a+b=x[/tex3], portanto, vamos escolher o par [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] tal que [tex3]a^3+b^3=-q[/tex3].
Assim, nossa equação se reduz a
[tex3](a+b)(3ab+p)=0[/tex3]
Não vamos considerar o caso em que [tex3]a+b=0[/tex3]
Logo, [tex3]3ab+p=0\implies ab=-\frac{p}{3}\implies a^3b^3=-\frac{p^3}{27}[/tex3] , o que somado ao fato de [tex3]a^3+b^3=-q[/tex3] , nos permite escrever um polinômio de segundo grau
[tex3]c^2+qc-\frac{p^3}{27}=0[/tex3] , cujas raízes [tex3]a^3[/tex3] e [tex3]b^3[/tex3] .
Para que a equação inicial tenha raízes reais e distintas, devemos ter o discriminante dessa equação em [tex3]c[/tex3] menor do que [tex3]0[/tex3] , o que nos dá [tex3]4p^3+27q^2<0[/tex3]
[tex3][/tex3]
Última edição: Tassandro (Seg 23 Mar, 2020 11:37). Total de 3 vezes.
Dias de luta, dias de glória.
Mar 2020
23
11:00
Re: Simulado-Ita-Equação
Mas, se [tex3]x_1,~x_2,~x_3 \in \mathbb R[/tex3] , o discriminante não precisa ser negativo?
-
Tassandro
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Mar 2020
23
11:03
Re: Simulado-Ita-Equação
Mas se o [tex3]Δ[/tex3] fosse menor que 0, não haveria soluções reais. Está se referindo à equação em [tex3]c[/tex3] ?
Última edição: Tassandro (Seg 23 Mar, 2020 11:04). Total de 1 vez.
Dias de luta, dias de glória.
Mar 2020
23
11:13
Re: Simulado-Ita-Equação
Estava tentando pelo método de Cardano-Tartaglia, para uma equação cúbica do tipo [tex3]x^3 + Px + Q =0[/tex3] :
[tex3]\Delta = \left(\frac{Q}{2}\right)^2 + \left(\frac{P}{3}\right)^3 \implies \begin{cases} \Delta = 0 \implies x_1, x_2, x_3 \in \mathbb R, \text{ sendo duas ou três raízes iguais} \\ \Delta < 0 \implies x_1, x_2, x_3 \in \mathbb R \\
\Delta > 0 \implies x_1 \in \mathbb R,~ x_2, x_3 \in \mathbb C ~ | ~ x_3 = \overline{x_2} \end{cases}[/tex3]
\Delta > 0 \implies x_1 \in \mathbb R,~ x_2, x_3 \in \mathbb C ~ | ~ x_3 = \overline{x_2} \end{cases}[/tex3]
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Tassandro
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Mar 2020
23
11:24
Re: Simulado-Ita-Equação
Obrigado, Planck, sua solução está correta. Obrigado pela correção.Planck escreveu: ↑Seg 23 Mar, 2020 11:13Estava tentando pelo método de Cardano-Tartaglia, para uma equação cúbica do tipo [tex3]x^3 + Px + Q =0[/tex3] :[tex3]\Delta = \left(\frac{Q}{2}\right)^2 + \left(\frac{P}{3}\right)^3 \implies \begin{cases} \Delta = 0 \implies x_1, x_2, x_3 \in \mathbb R, \text{ sendo duas ou três raízes iguais} \\ \Delta < 0 \implies x_1, x_2, x_3 \in \mathbb R \\
\Delta > 0 \implies x_1 \in \mathbb R,~ x_2, x_3 \in \mathbb C ~ | ~ x_3 = \overline{x_2} \end{cases}[/tex3]
Dias de luta, dias de glória.
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