IME / ITA ⇒ (IME 71) Funções trigonométricas inversas Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Determine os valores de x que satisfaçam a equação

[tex3]arcsen(x\sqrt{3})=arcsen2x-arcsenx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]arcsen(x\sqrt{3})=arcsen2x-arcsenx[/tex3]

Resposta

---

0, 1/2 e -1/2

[Tassandro]

Vamos lá!
Seja [tex3]\theta=\arcsin2x \implies \sin\theta=2x\implies\cos\theta=\sqrt{1-4x^2}[/tex3]

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[tex3]\theta=\arcsin2x \implies \sin\theta=2x\implies\cos\theta=\sqrt{1-4x^2}[/tex3]

e [tex3]\alpha=\arcsin x \implies \sin\alpha=x\implies cos\alpha=\sqrt{1-x^2}[/tex3]

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[tex3]\alpha=\arcsin x \implies \sin\alpha=x\implies cos\alpha=\sqrt{1-x^2}[/tex3]

Aplicando a função seno dos dois lados, teremos que
[tex3]\sin(\arcsin(x\sqrt3))=\sin[\arcsin2x-\arcsin x][/tex3]

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[tex3]\sin(\arcsin(x\sqrt3))=\sin[\arcsin2x-\arcsin x][/tex3]

Usando a fórmula da soma de senos e os valores que definimos no começo, teremos que [tex3]\implies x\sqrt3=2x\sqrt{1-x^2}-x\sqrt{1-4x^2}[/tex3]

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[tex3]\implies x\sqrt3=2x\sqrt{1-x^2}-x\sqrt{1-4x^2}[/tex3]

Após algumas simplificações algébricas
[tex3]x(2\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-4x^2}-\sqrt3)=0[/tex3]

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[tex3]x(2\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-4x^2}-\sqrt3)=0[/tex3]

Logo, [tex3]\boxed{x=0}[/tex3]

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[tex3]\boxed{x=0}[/tex3]

é solução.
Agora vamos nos preocupar com a equação nos parênteses
[tex3]2\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-4x^2}-\sqrt3=0[/tex3]

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[tex3]2\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-4x^2}-\sqrt3=0[/tex3]

[tex3]\implies2\sqrt{1-x^2}=\sqrt3-\sqrt{1-4x^2}[/tex3]

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[tex3]\implies2\sqrt{1-x^2}=\sqrt3-\sqrt{1-4x^2}[/tex3]

Elevando ao quadrado e após algumas simplificações algébricas chegaremos a [tex3]2\sqrt{3(1-4x^2)}=0[/tex3]

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[tex3]2\sqrt{3(1-4x^2)}=0[/tex3]

Daí, [tex3]1-4x^2=0\implies \boxed{x=\frac{1}{2}}[/tex3]

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[tex3]1-4x^2=0\implies \boxed{x=\frac{1}{2}}[/tex3]

ou [tex3]\boxed{x=-\frac{1}{2}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{x=-\frac{1}{2}}[/tex3]

.
Logo, o nosso conjunto solução é
[tex3]\boxed{\boxed{S={-\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{S={-\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}}}}[/tex3]