IME / ITA(IME 71) Funções trigonométricas inversas Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Zhadnyy
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(IME 71) Funções trigonométricas inversas

Mensagem não lida por Zhadnyy »

Determine os valores de x que satisfaçam a equação

[tex3]arcsen(x\sqrt{3})=arcsen2x-arcsenx[/tex3]
Resposta

0, 1/2 e -1/2




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Tassandro
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Mar 2020 20 15:00

Re: (IME 71) Funções trigonométricas inversas

Mensagem não lida por Tassandro »

Vamos lá!
Seja [tex3]\theta=\arcsin2x \implies \sin\theta=2x\implies\cos\theta=\sqrt{1-4x^2}[/tex3] e [tex3]\alpha=\arcsin x \implies \sin\alpha=x\implies cos\alpha=\sqrt{1-x^2}[/tex3]
Aplicando a função seno dos dois lados, teremos que
[tex3]\sin(\arcsin(x\sqrt3))=\sin[\arcsin2x-\arcsin x][/tex3]
Usando a fórmula da soma de senos e os valores que definimos no começo, teremos que [tex3]\implies x\sqrt3=2x\sqrt{1-x^2}-x\sqrt{1-4x^2}[/tex3]
Após algumas simplificações algébricas
[tex3]x(2\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-4x^2}-\sqrt3)=0[/tex3]
Logo, [tex3]\boxed{x=0}[/tex3] é solução.
Agora vamos nos preocupar com a equação nos parênteses
[tex3]2\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-4x^2}-\sqrt3=0[/tex3]
[tex3]\implies2\sqrt{1-x^2}=\sqrt3-\sqrt{1-4x^2}[/tex3]
Elevando ao quadrado e após algumas simplificações algébricas chegaremos a [tex3]2\sqrt{3(1-4x^2)}=0[/tex3]
Daí, [tex3]1-4x^2=0\implies \boxed{x=\frac{1}{2}}[/tex3] ou [tex3]\boxed{x=-\frac{1}{2}}[/tex3] .
Logo, o nosso conjunto solução é
[tex3]\boxed{\boxed{S={-\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}}}}[/tex3]

Última edição: Tassandro (Sex 20 Mar, 2020 15:04). Total de 2 vezes.


A criatividade é a inteligência se divertindo.
Albert Einstein.

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