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b) [tex3]\frac{a\sqrt{5}}{5}[/tex3]
c) [tex3]\frac{a\sqrt{5}}{3}[/tex3]
d) [tex3]\frac{a\sqrt{5}}{6}[/tex3]
e) [tex3]\frac{a\sqrt{2}}{3}[/tex3]
IME / ITA ⇒ Peru-Geometria Espacial Tópico resolvido
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Tassandro 
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Mar 2020
16
07:00
Peru-Geometria Espacial
Calcule a distância entre as retas [tex3]\overline{AB}[/tex3]
e [tex3]\overline{CD}[/tex3]
, se a aresta do cubo mede [tex3]a[/tex3]
.
a) [tex3]\frac{a\sqrt{5}}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{a\sqrt{5}}{5}[/tex3]
c) [tex3]\frac{a\sqrt{5}}{3}[/tex3]
d) [tex3]\frac{a\sqrt{5}}{6}[/tex3]
e) [tex3]\frac{a\sqrt{2}}{3}[/tex3]
a) [tex3]\frac{a\sqrt{5}}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{a\sqrt{5}}{5}[/tex3]
c) [tex3]\frac{a\sqrt{5}}{3}[/tex3]
d) [tex3]\frac{a\sqrt{5}}{6}[/tex3]
e) [tex3]\frac{a\sqrt{2}}{3}[/tex3]
Última edição: MateusQqMD (Seg 16 Mar, 2020 12:53). Total de 1 vez.
Razão: arrumar imagem.
Razão: arrumar imagem.
Dias de luta, dias de glória.
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Tassandro
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Mar 2020
17
11:30
Re: Peru-Geometria Espacial
Seja [tex3]M_1[/tex3]
e [tex3]M_2[/tex3]
os pontos médios dos segmentos [tex3]\overline{OD}[/tex3]
[tex3]\overline{AB}[/tex3]
, respectivamente, sendo [tex3]O[/tex3]
a projeção de [tex3]A[/tex3]
no plano inferior do cubo. Além disso, seja [tex3]P[/tex3]
o ponto de encontro das diagonais da face inferior(face esta que contém o ponto [tex3]D[/tex3]
)
Logo, é fácil perceber que
[tex3]\overline{CD}\parallel\overline{M_1M_2}\parallel\overline{PB}[/tex3] .
Seja o plano [tex3]\alpha=(\overline{M_1M_2};\overline{PB}\parallel\overline{DC}[/tex3] .
Note que os pontos [tex3]B, M_2, M_1, P[/tex3] pertencem a esse plano.
Logo, [tex3]\overline{M_1P}[/tex3] e [tex3]\overline{AB}[/tex3] são retas reversas. A menor distância entre as retas [tex3]\overline{CD}[/tex3] e [tex3]\overline{AB}[/tex3] será igual a menor distância entre dois pontos quaisquer de [tex3]\overline{CD}[/tex3] e [tex3]\alpha[/tex3] . Essa distância será igual a altura relativa à hipotenusa [tex3]\overline{M_1P}[/tex3] no triângulo retângulo [tex3]M_1PC[/tex3]
Sendo [tex3]PC=a[/tex3] , teremos por relações métricas
[tex3]\frac{1}{d^2}=\frac{1}{(2a)^2}+\frac{1}{a^2}\implies d=\frac{\sqrt{5}}{5}a[/tex3] .
Logo, é fácil perceber que
[tex3]\overline{CD}\parallel\overline{M_1M_2}\parallel\overline{PB}[/tex3] .
Seja o plano [tex3]\alpha=(\overline{M_1M_2};\overline{PB}\parallel\overline{DC}[/tex3] .
Note que os pontos [tex3]B, M_2, M_1, P[/tex3] pertencem a esse plano.
Logo, [tex3]\overline{M_1P}[/tex3] e [tex3]\overline{AB}[/tex3] são retas reversas. A menor distância entre as retas [tex3]\overline{CD}[/tex3] e [tex3]\overline{AB}[/tex3] será igual a menor distância entre dois pontos quaisquer de [tex3]\overline{CD}[/tex3] e [tex3]\alpha[/tex3] . Essa distância será igual a altura relativa à hipotenusa [tex3]\overline{M_1P}[/tex3] no triângulo retângulo [tex3]M_1PC[/tex3]
Sendo [tex3]PC=a[/tex3] , teremos por relações métricas
[tex3]\frac{1}{d^2}=\frac{1}{(2a)^2}+\frac{1}{a^2}\implies d=\frac{\sqrt{5}}{5}a[/tex3] .
Última edição: Tassandro (Ter 17 Mar, 2020 11:33). Total de 1 vez.
Dias de luta, dias de glória.
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