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Mensagem não lida por **Tassandro** » 16 Mar 2020, 07:00

Calcule a distância entre as retas [tex3]\overline{AB}[/tex3] e [tex3]\overline{CD}[/tex3] , se a aresta do cubo mede [tex3]a[/tex3] .

: Geometria Espacial.jpg (5.83 KiB) Exibido 1097 vezes

a) [tex3]\frac{a\sqrt{5}}{2}[/tex3]

b) [tex3]\frac{a\sqrt{5}}{5}[/tex3]

c) [tex3]\frac{a\sqrt{5}}{3}[/tex3]

d) [tex3]\frac{a\sqrt{5}}{6}[/tex3]

e) [tex3]\frac{a\sqrt{2}}{3}[/tex3]

Mensagem não lida por **Tassandro** » 17 Mar 2020, 11:30

Seja [tex3]M_1[/tex3] e [tex3]M_2[/tex3] os pontos médios dos segmentos [tex3]\overline{OD}[/tex3] [tex3]\overline{AB}[/tex3] , respectivamente, sendo [tex3]O[/tex3] a projeção de [tex3]A[/tex3] no plano inferior do cubo. Além disso, seja [tex3]P[/tex3] o ponto de encontro das diagonais da face inferior(face esta que contém o ponto [tex3]D[/tex3] )
Logo, é fácil perceber que
[tex3]\overline{CD}\parallel\overline{M_1M_2}\parallel\overline{PB}[/tex3] .
Seja o plano [tex3]\alpha=(\overline{M_1M_2};\overline{PB}\parallel\overline{DC}[/tex3] .
Note que os pontos [tex3]B, M_2, M_1, P[/tex3] pertencem a esse plano.
Logo, [tex3]\overline{M_1P}[/tex3] e [tex3]\overline{AB}[/tex3] são retas reversas. A menor distância entre as retas [tex3]\overline{CD}[/tex3] e [tex3]\overline{AB}[/tex3] será igual a menor distância entre dois pontos quaisquer de [tex3]\overline{CD}[/tex3] e [tex3]\alpha[/tex3] . Essa distância será igual a altura relativa à hipotenusa [tex3]\overline{M_1P}[/tex3] no triângulo retângulo [tex3]M_1PC[/tex3]
Sendo [tex3]PC=a[/tex3] , teremos por relações métricas
[tex3]\frac{1}{d^2}=\frac{1}{(2a)^2}+\frac{1}{a^2}\implies d=\frac{\sqrt{5}}{5}a[/tex3] .

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Peru-Geometria Espacial

Re: Peru-Geometria Espacial

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