IME / ITA ⇒ (Simulado IME/ITA) Probabilidade Tópico resolvido
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Mar 2020
13
11:58
(Simulado IME/ITA) Probabilidade
Cinco times de igual força disputarão durante todo o ano um torneio. Uma taça será ganha pelo primeiro time que vencer três vezes consecutivas. Qual é a probabilidade da taça não ser ganha nos n primeiros torneios?
Última edição: MateusQqMD (Sex 13 Mar, 2020 13:29). Total de 1 vez.
Razão: retirar letras maiúsculas do título (regra 7).
Razão: retirar letras maiúsculas do título (regra 7).
Dias de luta, dias de glória.
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Mar 2020
23
11:49
Re: (Simulado IME/ITA) Probabilidade
Seja [tex3]a_n[/tex3]
Note que, para calcular [tex3]a_n[/tex3] , eu posso pegar qualquer uma das sequências [tex3]a_{n-1}[/tex3] e adicionar uma letra qualquer em seu final. Então:
[tex3]a_n = 5a_{n-1} + \text{alguma coisa}[/tex3]
Essa alguma coisa também é uma sequência de tamanho [tex3]n-1[/tex3] . Só que, diferentemente da situação do [tex3]a_{n-1}[/tex3] em que já tinha uma sequência válida de letras e eu só a extendi, essa alguma coisa na verdade passou a ser válida. Para isso acontecer, essa alguma coisa tem que ter no final duas letras iguais consecutivas e não pode ter nenhuma subsequência de três letras seguidas. Seja [tex3]b_n[/tex3] essa nova sequência, de sorte que
[tex3]a_n = 5a_{n-1} + b_{n-1}[/tex3]
Para calcular [tex3]b_n[/tex3] , note que basta adicionar ao final de uma sequência que não tem três letras consecutivas e no final tem uma letra isolada a repetição dessa letra.
[tex3]b_n = c_{n-1}[/tex3]
Agora, quem é [tex3]c_n[/tex3] ? Basta adicionar a uma sequência que não tem 3 letras consecutivas iguais uma letra diferente da última. Para isso temos 4 possibilidades:
[tex3]c_n = 4d_{n-1}[/tex3]
Ademais, é fácil perceber que [tex3]a_n + d_n = 5^n[/tex3]
Logo, a recorrência é:
[tex3]a_n = 5a_{n-1} + (5^{n-3} - a_{n-3})[/tex3]
Agora, seja [tex3]k_n + 5^n = a_n[/tex3] de forma que
[tex3]k_n = 5 k_{n-1} - k_{n-3}[/tex3]
A partir daí a dica é transformar essa sequência de terceira ordem numa de segunda ordem por meio de somas telescópicas.
[tex3]k_2 - k_1 = ?[/tex3]
[tex3]...[/tex3]
[tex3]k_n - k_{n-1} = ?[/tex3]
o número de maneiras que eu posso fazer uma "palavra" de "n" letras (A, B, C, D e E) de modo que existam 3 três letras iguais consecutivas. Note que, para calcular [tex3]a_n[/tex3] , eu posso pegar qualquer uma das sequências [tex3]a_{n-1}[/tex3] e adicionar uma letra qualquer em seu final. Então:
[tex3]a_n = 5a_{n-1} + \text{alguma coisa}[/tex3]
Essa alguma coisa também é uma sequência de tamanho [tex3]n-1[/tex3] . Só que, diferentemente da situação do [tex3]a_{n-1}[/tex3] em que já tinha uma sequência válida de letras e eu só a extendi, essa alguma coisa na verdade passou a ser válida. Para isso acontecer, essa alguma coisa tem que ter no final duas letras iguais consecutivas e não pode ter nenhuma subsequência de três letras seguidas. Seja [tex3]b_n[/tex3] essa nova sequência, de sorte que
[tex3]a_n = 5a_{n-1} + b_{n-1}[/tex3]
Para calcular [tex3]b_n[/tex3] , note que basta adicionar ao final de uma sequência que não tem três letras consecutivas e no final tem uma letra isolada a repetição dessa letra.
[tex3]b_n = c_{n-1}[/tex3]
Agora, quem é [tex3]c_n[/tex3] ? Basta adicionar a uma sequência que não tem 3 letras consecutivas iguais uma letra diferente da última. Para isso temos 4 possibilidades:
[tex3]c_n = 4d_{n-1}[/tex3]
Ademais, é fácil perceber que [tex3]a_n + d_n = 5^n[/tex3]
Logo, a recorrência é:
[tex3]a_n = 5a_{n-1} + (5^{n-3} - a_{n-3})[/tex3]
Agora, seja [tex3]k_n + 5^n = a_n[/tex3] de forma que
[tex3]k_n = 5 k_{n-1} - k_{n-3}[/tex3]
A partir daí a dica é transformar essa sequência de terceira ordem numa de segunda ordem por meio de somas telescópicas.
[tex3]k_2 - k_1 = ?[/tex3]
[tex3]...[/tex3]
[tex3]k_n - k_{n-1} = ?[/tex3]
Última edição: Tassandro (Seg 23 Mar, 2020 12:17). Total de 1 vez.
Dias de luta, dias de glória.
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