IME / ITA(Escola Naval - 2014) Trigonometria Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Heisenberg1
2 - Nerd
Mensagens: 218
Registrado em: Qua 08 Jan, 2020 20:37
Última visita: 15-02-21
Fev 2020 29 14:41

(Escola Naval - 2014) Trigonometria

Mensagem não lida por Heisenberg1 »

O valor do produto [tex3]\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ}[/tex3] é
Resposta

-1/8

Última edição: MateusQqMD (Sáb 29 Fev, 2020 15:19). Total de 1 vez.
Razão: colocar tex na expressão matemática.



Avatar do usuário
MateusQqMD
6 - Doutor
Mensagens: 2647
Registrado em: Qui 16 Ago, 2018 19:15
Última visita: 26-02-21
Localização: Fortaleza
Fev 2020 29 15:15

Re: (Escola Naval - 2014) Trigonometria

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Olá, Heisenberg1.

Uma ideia é lembrar que [tex3]\sen(2\alpha)=2\sen(\alpha)\cos(\alpha).[/tex3]

Seja [tex3]P = \cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ},[/tex3] então

[tex3]\begin{align}

2\sen40^{\circ} \cdot P & = 2\sen40^{\circ} \cdot\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ} \\

& = \,\,\, \sen80^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ} \\

& = \,\,\, \frac{2}{2} \cdot \sen80^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ} \\

& = \,\,\, \frac{1}{2} \cdot \sen160^{\circ} \cdot \cos160^{\circ} \\

& = \,\,\, \frac{1}{4} \cdot \sen320^{\circ} \\

\end{align}[/tex3]

Mas [tex3]\sen40^{\circ} = - \sen320^{\circ},[/tex3] de sorte que

[tex3] 2\sen40^{\circ} \cdot P = - \frac{1}{4} \sen40^{\circ} [/tex3]
[tex3]\boxed{ P = -\frac{1}{8} }[/tex3]



"Make us to choose the harder right instead of the easier wrong and never to be content with a half truth when the whole truth can be won."

Avatar do usuário
rodBR
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 537
Registrado em: Sáb 28 Jan, 2017 22:37
Última visita: 19-02-21
Fev 2020 29 18:11

Re: (Escola Naval - 2014) Trigonometria

Mensagem não lida por rodBR »

Uma outra maneira é fazer via complexos...Tem muitas soluções aqui no fórum similar a essa, o snooplammer de vez em quando faz uma uma dessa...

Seja [tex3]z=\cis(40^{\circ})[/tex3]
Daí, temos que:
[tex3]\begin{cases}z+\frac1z=2\cos(40^{\circ})\\
z^2+\frac{1}{z^2}=2\cos(80^{\circ})\\

z^4+\frac{1}{z^4}=2\cos(160^{\circ})\end{cases}
[/tex3]

Multiplicando membro a membro, temos o produto solicitado no problema:
[tex3]\(z+\frac1z\)\cdot\(z^2+\frac{1}{z^2}\)\cdot\(z^4+\frac{1}{z^4}\)=2\cos(40^{\circ})\cdot2\cos(80^{\circ})\cdot2\cos(160^{\circ})\\
\(z+z^{-1}\)\cdot\(z^2+z^{-2}\)\cdot\(z^4+z^{-4}\)=2^3\cdot\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ}[/tex3]

Como [tex3]z^3+\frac{1}{z^3}=2\cos(120^{\circ})=-2\cos(60^{\circ})=-1[/tex3] vamos multiplicar membro a membro:
[tex3]\(z+z^{-1}\)\cdot\(z^2+z^{-2}\)\cdot\(z^3+z^{-3}\)\cdot\(z^4+z^{-4}\)=2^3\cdot\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ}[/tex3]

Agora, multiplique o lado esquerdo por [tex3]\frac{z-z^{-1}}{z+z^{-1}}[/tex3] :
[tex3]\(\frac{z-z^{-1}}{z+z^{-1}}\)\cdot\(z+z^{-1}\)\cdot\(z^2+z^{-2}\)\cdot\(z^3+z^{-3}\)\cdot\(z^4+z^{-4}\)=-2^3\cdot\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ}\\
\(\frac{z^8-z^{-8}}{z^8-z^{-8}}\)=-8\cdot\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ}\\\\
\boxed{\boxed{\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ}=-\frac18}}[/tex3]





att>>rodBR

Última edição: rodBR (Sáb 29 Fev, 2020 18:14). Total de 1 vez.


"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem (Escola naval-2014) modal verbs
    por JohnnyEN » » em Gramática
    1 Respostas
    727 Exibições
    Última msg por Caillou
  • Nova mensagem (Escola naval - 2014) hidrostática
    por JohnnyEN » » em IME/ITA
    1 Respostas
    265 Exibições
    Última msg por MateusQqMD
  • Nova mensagem (Escola Naval-2011) Trigonometria
    por JohnnyEN » » em IME / ITA
    1 Respostas
    331 Exibições
    Última msg por Ittalo25
  • Nova mensagem (Escola naval - 2010) Trigonometria
    por JohnnyEN » » em IME / ITA
    3 Respostas
    323 Exibições
    Última msg por TakeMeDown
  • Nova mensagem (Escola naval)-Trigonometria
    por JohnnyEN » » em IME / ITA
    1 Respostas
    184 Exibições
    Última msg por petras

Voltar para “IME / ITA”