IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2014) Trigonometria Tópico resolvido

[Heisenberg1]

O valor do produto [tex3]\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ}[/tex3]

é

Resposta

---

-1/8

[MateusQqMD]

Olá, Heisenberg1.

Uma ideia é lembrar que [tex3]\sen(2\alpha)=2\sen(\alpha)\cos(\alpha).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen(2\alpha)=2\sen(\alpha)\cos(\alpha).[/tex3]

Seja [tex3]P = \cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ},[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P = \cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ},[/tex3]

então

[tex3]\begin{align}

2\sen40^{\circ} \cdot P & = 2\sen40^{\circ} \cdot\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ} \\

& = \,\,\, \sen80^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ} \\

& = \,\,\, \frac{2}{2} \cdot \sen80^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ} \\

& = \,\,\, \frac{1}{2} \cdot \sen160^{\circ} \cdot \cos160^{\circ} \\

& = \,\,\, \frac{1}{4} \cdot \sen320^{\circ} \\

\end{align}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{align}

2\sen40^{\circ} \cdot P & = 2\sen40^{\circ} \cdot\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ} \\

& = \,\,\, \sen80^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ} \\

& = \,\,\, \frac{2}{2} \cdot \sen80^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ} \\

& = \,\,\, \frac{1}{2} \cdot \sen160^{\circ} \cdot \cos160^{\circ} \\

& = \,\,\, \frac{1}{4} \cdot \sen320^{\circ} \\

\end{align}[/tex3]

Mas [tex3]\sen40^{\circ} = - \sen320^{\circ},[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen40^{\circ} = - \sen320^{\circ},[/tex3]

de sorte que

[tex3]2\sen40^{\circ} \cdot P = - \frac{1}{4} \sen40^{\circ} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\sen40^{\circ} \cdot P = - \frac{1}{4} \sen40^{\circ} [/tex3]

[tex3]\boxed{ P = -\frac{1}{8} }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{ P = -\frac{1}{8} }[/tex3]

[rodBR]

Uma outra maneira é fazer via complexos...Tem muitas soluções aqui no fórum similar a essa, o snooplammer de vez em quando faz uma uma dessa...

Seja [tex3]z=\cis(40^{\circ})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=\cis(40^{\circ})[/tex3]

Daí, temos que:
[tex3]\begin{cases}z+\frac1z=2\cos(40^{\circ})\\
z^2+\frac{1}{z^2}=2\cos(80^{\circ})\\

z^4+\frac{1}{z^4}=2\cos(160^{\circ})\end{cases}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}z+\frac1z=2\cos(40^{\circ})\\
z^2+\frac{1}{z^2}=2\cos(80^{\circ})\\

z^4+\frac{1}{z^4}=2\cos(160^{\circ})\end{cases}
[/tex3]

Multiplicando membro a membro, temos o produto solicitado no problema:
[tex3]\(z+\frac1z\)\cdot\(z^2+\frac{1}{z^2}\)\cdot\(z^4+\frac{1}{z^4}\)=2\cos(40^{\circ})\cdot2\cos(80^{\circ})\cdot2\cos(160^{\circ})\\
\(z+z^{-1}\)\cdot\(z^2+z^{-2}\)\cdot\(z^4+z^{-4}\)=2^3\cdot\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(z+\frac1z\)\cdot\(z^2+\frac{1}{z^2}\)\cdot\(z^4+\frac{1}{z^4}\)=2\cos(40^{\circ})\cdot2\cos(80^{\circ})\cdot2\cos(160^{\circ})\\
\(z+z^{-1}\)\cdot\(z^2+z^{-2}\)\cdot\(z^4+z^{-4}\)=2^3\cdot\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ}[/tex3]

Como [tex3]z^3+\frac{1}{z^3}=2\cos(120^{\circ})=-2\cos(60^{\circ})=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z^3+\frac{1}{z^3}=2\cos(120^{\circ})=-2\cos(60^{\circ})=-1[/tex3]

vamos multiplicar membro a membro:
[tex3]\(z+z^{-1}\)\cdot\(z^2+z^{-2}\)\cdot\(z^3+z^{-3}\)\cdot\(z^4+z^{-4}\)=2^3\cdot\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(z+z^{-1}\)\cdot\(z^2+z^{-2}\)\cdot\(z^3+z^{-3}\)\cdot\(z^4+z^{-4}\)=2^3\cdot\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ}[/tex3]

Agora, multiplique o lado esquerdo por [tex3]\frac{z-z^{-1}}{z+z^{-1}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{z-z^{-1}}{z+z^{-1}}[/tex3]

:
[tex3]\(\frac{z-z^{-1}}{z+z^{-1}}\)\cdot\(z+z^{-1}\)\cdot\(z^2+z^{-2}\)\cdot\(z^3+z^{-3}\)\cdot\(z^4+z^{-4}\)=-2^3\cdot\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ}\\
\(\frac{z^8-z^{-8}}{z^8-z^{-8}}\)=-8\cdot\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ}\\\\
\boxed{\boxed{\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ}=-\frac18}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(\frac{z-z^{-1}}{z+z^{-1}}\)\cdot\(z+z^{-1}\)\cdot\(z^2+z^{-2}\)\cdot\(z^3+z^{-3}\)\cdot\(z^4+z^{-4}\)=-2^3\cdot\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ}\\
\(\frac{z^8-z^{-8}}{z^8-z^{-8}}\)=-8\cdot\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ}\\\\
\boxed{\boxed{\cos40^{\circ} \cdot \cos80^{\circ} \cdot \cos160^{\circ}=-\frac18}}[/tex3]

att>>rodBR