Olimpíadas ⇒ Equação Trigonométrica

[Hanon]

O número de soluções reais da equação:
[tex3]\arcsen\(\sum_{i=1}^{\infty}x^{i+1}-x\sum_{i=1}^{\infty}\(\frac{x}{2}\)^i\)=\frac{\pi}{2}-\arccos\(\sum_{i=1}^{\infty}\(-\frac{x}{2}\)^i-\sum_{i=1}^{\infty}x^{-i}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\arcsen\(\sum_{i=1}^{\infty}x^{i+1}-x\sum_{i=1}^{\infty}\(\frac{x}{2}\)^i\)=\frac{\pi}{2}-\arccos\(\sum_{i=1}^{\infty}\(-\frac{x}{2}\)^i-\sum_{i=1}^{\infty}x^{-i}\)[/tex3]

no intervalo [tex3]\[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\][/tex3]

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[tex3]\[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\][/tex3]

, é?

((Aqui, as funções trigonométricas inversas [tex3]\arcsen(x)[/tex3]

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[tex3]\arcsen(x)[/tex3]

e [tex3]\arccos(x)[/tex3]

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[tex3]\arccos(x)[/tex3]

assumem valores em [tex3]\[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\][/tex3]

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[tex3]\[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\][/tex3]

e [tex3][0, \pi][/tex3]

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[tex3][0, \pi][/tex3]

, respectivamente)

[snooplammer]

Eu acho melhor usar a notação arccos e arcsen, vez ou outra eu vejo essa notação elevada a -1 e fico me perguntando se é pra caracterizar função inversa ou fração...

[Hanon]

Eu acho melhor usar a notação arccos e arcsen, vez ou outra eu vejo essa notação elevada a -1 e fico me perguntando se é pra caracterizar função inversa ou fração...

Já editei.

[mcarvalho]

Alguém sabe resolver?

[undefinied3]

Tá certo o lado direito? O expoente ali é [tex3]-i[/tex3]

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[tex3]-i[/tex3]

realmente? Porque não tem como a soma convergir pra x nesse intervalo.

[Hanon]

Perdão, fui verificar e a equação correta é:
[tex3]\arcsen\(\sum_{i=1}^{\infty}x^{i+1}-x\sum_{i=1}^{\infty}\(\frac{x}{2}\)^i\)=\frac{\pi}{2}-\arccos\(\sum_{i=1}^{\infty}\(-\frac{x}{2}\)^i-\sum_{i=1}^{\infty}(-x)^{i}\)[/tex3]

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[tex3]\arcsen\(\sum_{i=1}^{\infty}x^{i+1}-x\sum_{i=1}^{\infty}\(\frac{x}{2}\)^i\)=\frac{\pi}{2}-\arccos\(\sum_{i=1}^{\infty}\(-\frac{x}{2}\)^i-\sum_{i=1}^{\infty}(-x)^{i}\)[/tex3]

[undefinied3]

O lado direito:
[tex3]\frac{x^2}{1-x}-x\frac{\frac{x}{2}}{1-\frac{x}{2}}=\frac{x^2}{1-x}-\frac{x^2}{2-x}=\frac{x^2}{(1-x)(2-x)}[/tex3]

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[tex3]\frac{x^2}{1-x}-x\frac{\frac{x}{2}}{1-\frac{x}{2}}=\frac{x^2}{1-x}-\frac{x^2}{2-x}=\frac{x^2}{(1-x)(2-x)}[/tex3]

Lado esquerdo:
[tex3]\frac{-\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2}}-\frac{-x}{1+x}=\frac{x}{1+x}-\frac{x}{2+x}=\frac{x}{(1+x)(2+x)}[/tex3]

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[tex3]\frac{-\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2}}-\frac{-x}{1+x}=\frac{x}{1+x}-\frac{x}{2+x}=\frac{x}{(1+x)(2+x)}[/tex3]

Aplique seno dos dois lados e lembre que [tex3]sen(\frac{\pi}{2}-\theta)=cos(\theta)[/tex3]

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[tex3]sen(\frac{\pi}{2}-\theta)=cos(\theta)[/tex3]

Então [tex3]\frac{x^2}{(1-x)(2-x)}=\frac{x}{(1+x)(2+x)}[/tex3]

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[tex3]\frac{x^2}{(1-x)(2-x)}=\frac{x}{(1+x)(2+x)}[/tex3]

[tex3]x=0[/tex3]

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[tex3]x=0[/tex3]

é solução. Além disso:
[tex3]\frac{x}{(1-x)(2-x)}=\frac{1}{(1+x)(2+x)} \rightarrow x^3+3x^2+2x=x^2-3x+2 \rightarrow x^3+2x^2+5x-2=0[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{(1-x)(2-x)}=\frac{1}{(1+x)(2+x)} \rightarrow x^3+3x^2+2x=x^2-3x+2 \rightarrow x^3+2x^2+5x-2=0[/tex3]

O problema é que existe solução para esta equação no intervalo pedido... A solução não parece ser trigonométrica, mas parece que só sai por Cardano? Não consegui de outro jeito.