Olimpíadas ⇒ Equação Trigonométrica
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Jan 2020
24
01:51
Equação Trigonométrica
O número de soluções reais da equação:
[tex3]\arcsen\(\sum_{i=1}^{\infty}x^{i+1}-x\sum_{i=1}^{\infty}\(\frac{x}{2}\)^i\)=\frac{\pi}{2}-\arccos\(\sum_{i=1}^{\infty}\(-\frac{x}{2}\)^i-\sum_{i=1}^{\infty}x^{-i}\)[/tex3]
no intervalo [tex3]\[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\][/tex3] , é?
((Aqui, as funções trigonométricas inversas [tex3]\arcsen(x)[/tex3] e [tex3]\arccos(x)[/tex3] assumem valores em [tex3]\[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\][/tex3] e [tex3][0, \pi][/tex3] , respectivamente)
[tex3]\arcsen\(\sum_{i=1}^{\infty}x^{i+1}-x\sum_{i=1}^{\infty}\(\frac{x}{2}\)^i\)=\frac{\pi}{2}-\arccos\(\sum_{i=1}^{\infty}\(-\frac{x}{2}\)^i-\sum_{i=1}^{\infty}x^{-i}\)[/tex3]
no intervalo [tex3]\[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\][/tex3] , é?
((Aqui, as funções trigonométricas inversas [tex3]\arcsen(x)[/tex3] e [tex3]\arccos(x)[/tex3] assumem valores em [tex3]\[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\][/tex3] e [tex3][0, \pi][/tex3] , respectivamente)
Última edição: Hanon (Sex 24 Jan, 2020 17:38). Total de 2 vezes.
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Jan 2020
24
11:26
Re: Equação Trigonométrica
Eu acho melhor usar a notação arccos e arcsen, vez ou outra eu vejo essa notação elevada a -1 e fico me perguntando se é pra caracterizar função inversa ou fração...
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Jan 2020
24
17:39
Re: Equação Trigonométrica
Já editei.snooplammer escreveu: ↑Sex 24 Jan, 2020 11:26Eu acho melhor usar a notação arccos e arcsen, vez ou outra eu vejo essa notação elevada a -1 e fico me perguntando se é pra caracterizar função inversa ou fração...
Fev 2020
25
14:57
Re: Equação Trigonométrica
Alguém sabe resolver?
"Dizem que não existe almoço grátis. Mas o universo é o derradeiro almoço grátis"
Alan Guth
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Fev 2020
27
03:48
Re: Equação Trigonométrica
Tá certo o lado direito? O expoente ali é [tex3]-i[/tex3]
realmente? Porque não tem como a soma convergir pra x nesse intervalo.Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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Fev 2020
27
19:25
Re: Equação Trigonométrica
Perdão, fui verificar e a equação correta é:
[tex3]\arcsen\(\sum_{i=1}^{\infty}x^{i+1}-x\sum_{i=1}^{\infty}\(\frac{x}{2}\)^i\)=\frac{\pi}{2}-\arccos\(\sum_{i=1}^{\infty}\(-\frac{x}{2}\)^i-\sum_{i=1}^{\infty}(-x)^{i}\)[/tex3]
[tex3]\arcsen\(\sum_{i=1}^{\infty}x^{i+1}-x\sum_{i=1}^{\infty}\(\frac{x}{2}\)^i\)=\frac{\pi}{2}-\arccos\(\sum_{i=1}^{\infty}\(-\frac{x}{2}\)^i-\sum_{i=1}^{\infty}(-x)^{i}\)[/tex3]
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Fev 2020
27
19:58
Re: Equação Trigonométrica
O lado direito:
[tex3]\frac{x^2}{1-x}-x\frac{\frac{x}{2}}{1-\frac{x}{2}}=\frac{x^2}{1-x}-\frac{x^2}{2-x}=\frac{x^2}{(1-x)(2-x)}[/tex3]
Lado esquerdo:
[tex3]\frac{-\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2}}-\frac{-x}{1+x}=\frac{x}{1+x}-\frac{x}{2+x}=\frac{x}{(1+x)(2+x)}[/tex3]
Aplique seno dos dois lados e lembre que [tex3]sen(\frac{\pi}{2}-\theta)=cos(\theta)[/tex3]
Então [tex3]\frac{x^2}{(1-x)(2-x)}=\frac{x}{(1+x)(2+x)}[/tex3]
[tex3]x=0[/tex3] é solução. Além disso:
[tex3]\frac{x}{(1-x)(2-x)}=\frac{1}{(1+x)(2+x)} \rightarrow x^3+3x^2+2x=x^2-3x+2 \rightarrow x^3+2x^2+5x-2=0[/tex3]
O problema é que existe solução para esta equação no intervalo pedido... A solução não parece ser trigonométrica, mas parece que só sai por Cardano? Não consegui de outro jeito.
[tex3]\frac{x^2}{1-x}-x\frac{\frac{x}{2}}{1-\frac{x}{2}}=\frac{x^2}{1-x}-\frac{x^2}{2-x}=\frac{x^2}{(1-x)(2-x)}[/tex3]
Lado esquerdo:
[tex3]\frac{-\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2}}-\frac{-x}{1+x}=\frac{x}{1+x}-\frac{x}{2+x}=\frac{x}{(1+x)(2+x)}[/tex3]
Aplique seno dos dois lados e lembre que [tex3]sen(\frac{\pi}{2}-\theta)=cos(\theta)[/tex3]
Então [tex3]\frac{x^2}{(1-x)(2-x)}=\frac{x}{(1+x)(2+x)}[/tex3]
[tex3]x=0[/tex3] é solução. Além disso:
[tex3]\frac{x}{(1-x)(2-x)}=\frac{1}{(1+x)(2+x)} \rightarrow x^3+3x^2+2x=x^2-3x+2 \rightarrow x^3+2x^2+5x-2=0[/tex3]
O problema é que existe solução para esta equação no intervalo pedido... A solução não parece ser trigonométrica, mas parece que só sai por Cardano? Não consegui de outro jeito.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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