Ensino Médio ⇒ Trigonometria - função Tópico resolvido

[Babi123]

Seja [tex3]f: \ [-1,1]\to \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f: \ [-1,1]\to \mathbb{R}[/tex3]

tal que [tex3]f(\cos(4\theta))=\frac{2}{2-\sec^2(\theta)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(\cos(4\theta))=\frac{2}{2-\sec^2(\theta)}[/tex3]

para [tex3]\theta\in \[\ 0,\frac{\pi}{4}\]\cup\[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta\in \[\ 0,\frac{\pi}{4}\]\cup\[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\][/tex3]

, então o valor para [tex3]f\(\frac{1}{3}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f\(\frac{1}{3}\)[/tex3]

é igual a:
A) [tex3]1-\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex3]

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[tex3]1-\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex3]

B) [tex3]1+\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex3]

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[tex3]1+\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex3]

C) [tex3]1-\sqrt{\frac{2}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1-\sqrt{\frac{2}{3}}[/tex3]

D) [tex3]1+\sqrt{\frac{2}{3}}[/tex3]

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[tex3]1+\sqrt{\frac{2}{3}}[/tex3]

[deOliveira]

[tex3]\cos\left(\frac \theta2\right)=\sqrt{\frac{1+\cos\theta}2}[/tex3]

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[tex3]\cos\left(\frac \theta2\right)=\sqrt{\frac{1+\cos\theta}2}[/tex3]

[tex3]\cos(4\theta)=\frac13\\\implies\cos(2\theta)=\sqrt{\frac{1+\frac13}2}=2\sqrt\frac16\\\implies\cos\theta=\sqrt{\frac{1+2\sqrt\frac16}2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos(4\theta)=\frac13\\\implies\cos(2\theta)=\sqrt{\frac{1+\frac13}2}=2\sqrt\frac16\\\implies\cos\theta=\sqrt{\frac{1+2\sqrt\frac16}2}[/tex3]

[tex3]\implies f\left(\frac13\right)=\frac2{2-\left(\frac1{\sqrt{\frac{1+2\sqrt\frac16}2}}\right)^2}=\\\frac2{2-\frac1{\frac{1+2\sqrt\frac16}2}}=\\\frac2{2-\frac2{1+2\sqrt\frac16}}=\\\frac1{1-\frac1{1+2\sqrt\frac16}}=\\\frac1{\frac{1+2\sqrt\frac16-1}{1+2\sqrt\frac16}}=\\\frac{1+2\sqrt\frac16}{2\sqrt\frac16}=\\\frac1{2\sqrt\frac16}+1=\\1+\frac{\sqrt\frac16}{2\cdot\frac16}=\\1+3\sqrt\frac16=1+\sqrt\frac96=\\1+\sqrt\frac32[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\implies f\left(\frac13\right)=\frac2{2-\left(\frac1{\sqrt{\frac{1+2\sqrt\frac16}2}}\right)^2}=\\\frac2{2-\frac1{\frac{1+2\sqrt\frac16}2}}=\\\frac2{2-\frac2{1+2\sqrt\frac16}}=\\\frac1{1-\frac1{1+2\sqrt\frac16}}=\\\frac1{\frac{1+2\sqrt\frac16-1}{1+2\sqrt\frac16}}=\\\frac{1+2\sqrt\frac16}{2\sqrt\frac16}=\\\frac1{2\sqrt\frac16}+1=\\1+\frac{\sqrt\frac16}{2\cdot\frac16}=\\1+3\sqrt\frac16=1+\sqrt\frac96=\\1+\sqrt\frac32[/tex3]

Se no meio do caminho eu não tiver errado nenhuma conta é isso aí.
Espero ter ajudado .

[mcarvalho]

[tex3]f(cos(4\theta))=\frac{2}{2-\frac{1}{cos^2\theta}}=\frac{2}{\frac{2cos^2\theta-1}{cos^2\theta}}=\frac{2}{\frac{2cos^2\theta-sen^2\theta-cos^2\theta}{cos^2\theta}}=\frac{2cos^2\theta}{cos2\theta}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(cos(4\theta))=\frac{2}{2-\frac{1}{cos^2\theta}}=\frac{2}{\frac{2cos^2\theta-1}{cos^2\theta}}=\frac{2}{\frac{2cos^2\theta-sen^2\theta-cos^2\theta}{cos^2\theta}}=\frac{2cos^2\theta}{cos2\theta}[/tex3]

.

Sabendo que [tex3]cos 4\theta=\frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]cos 4\theta=\frac{1}{3}[/tex3]

, nesse caso, queremos [tex3]f(\frac{1}{3})[/tex3]

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[tex3]f(\frac{1}{3})[/tex3]

. Antes, vamos encontrar o cosseno de theta e de dois theta:

[tex3]cos 4\theta=\frac{1}{3}\rightarrow sen4\theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}\\cos4\theta=cos^22\theta-sen^22\theta=2cos^22\theta-1\\cos^2\theta=\frac{cos4\theta+1}{2}=\frac{2}{3}\rightarrow cos2\theta=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos 4\theta=\frac{1}{3}\rightarrow sen4\theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}\\cos4\theta=cos^22\theta-sen^22\theta=2cos^22\theta-1\\cos^2\theta=\frac{cos4\theta+1}{2}=\frac{2}{3}\rightarrow cos2\theta=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}[/tex3]

Agora, aplicando novamente:
[tex3]cos2\theta=2cos^2\theta-1\rightarrow cos^2\theta=\frac{cos2\theta + 1}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos2\theta=2cos^2\theta-1\rightarrow cos^2\theta=\frac{cos2\theta + 1}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}[/tex3]

E, finalmente:
[tex3]f(\frac{1}{3})=\frac{2cos^2\theta}{cos2\theta}=\frac{2\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\f(\frac{1}{3})=1+\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(\frac{1}{3})=\frac{2cos^2\theta}{cos2\theta}=\frac{2\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\f(\frac{1}{3})=1+\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex3]

O gabarito confere?

[mcarvalho]

Eita, resposta duplicada. Vou manter por desencargo de consciência (depois de todo esse trabalho não compensa apagar haha), já que chegamos na mesma resposta mesmo.

[deOliveira]

mcarvalho, a gente chegou na mesma resposta, mas na última linha você inverteu o denominador com o numerador dentro da raiz.

[Babi123]

Obgda deOliveira e mcarvalho...

[mcarvalho]

deOliveira, é verdade! Obrigado!