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[tex3]\cos\gamma=\frac{\frac{a}{2}}{2a}=\frac{1}{4}[/tex3]
Como [tex3]\gamma[/tex3]
e [tex3]\frac{\alpha}{2}[/tex3]
são complementares, [tex3]sin\frac{\alpha}{2}=\cos\gamma[/tex3]
.
Pela Lei Fundamental da Trigonometria:
[tex3]\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-\sin\frac{\alpha}{2}}[/tex3]
[tex3]\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-\(\frac{1}{4}\)^2}=\frac{\sqrt{15}}{4}[/tex3]
Pela fórmula do arco-metade:
[tex3]\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{15}}{4}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\therefore\cos\alpha=\frac{7}{8}[/tex3]
Daí,
[tex3]\cos\alpha=\frac{7}{8}\rightarrow\arccos\frac{7}{8}=\alpha\therefore3\alpha=3\arccos\frac{7}{8}[/tex3]
Para finalizar, sabemos que
[tex3]c=r\cdot\alpha[/tex3]
, onde
[tex3]c[/tex3]
é o comprimento do arco da circunferência
[tex3]r[/tex3]
é o raio da circunferência
[tex3]\alpha[/tex3]
é a medida em radianos do ângulo central que determina o arco
Logo,
[tex3]m(\widehat{AC})=r\cdot3\arccos\frac{7}{8}[/tex3]