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[567,84
IME / ITA ⇒ (Colégio Naval) Mdc e mmc Tópico resolvido
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Lukinhas27 
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Jan 2020
09
21:47
(Colégio Naval) Mdc e mmc
Ache dois números inteiros "a" e "b", sabendo que sua soma seja 651 e que o quociente de seu mmc pelo mdc seja igual a 108.
[567,84
[567,84
-
undefinied3 
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Fev 2020
05
15:36
Re: (Colégio Naval) Mdc e mmc
Propriedade: [tex3]mmc(a,b)*mdc(a,b)=ab[/tex3]
[tex3]\frac{mmc(a,b)}{mdc(a,b)}=108 \rightarrow mmc(a,b)=108mdc(a,b)[/tex3]
[tex3]a+b=651 \rightarrow mdc(a,b)=mdc(a,651-a)=mdc(a,651)[/tex3]
Como [tex3]651=3.7.31[/tex3] , o mdc só pode ser 1, 3, 7, 31, 21, 93, 217 ou 651[/tex3]
[tex3]ab=mmc.mdc=108mdc(a,b)^2=108t^2[/tex3]
Então a e b são raízes de [tex3]x^2-651x+108t^2[/tex3]
[tex3]\Delta=3^27^231^2-4.2^2.3^3t^2=3^2(7^2.31^2-2^4.3t^2)[/tex3]
Que deve ser quadrado perfeito. Em particular, [tex3]7^2.31^2-2^4.3t^2=217^2-48t^2[/tex3] deve ser quadrado perfeito.
Testamos os valores de [tex3]t=mdc(a,b)[/tex3] dentre os possíveis e verificamos que t=21 e t=31 são soluções.
Para [tex3]t=21[/tex3] , temos [tex3](a,b)=(84,567)[/tex3] . De fato, [tex3]mdc(84,567)=21[/tex3] é uma solução.
Para [tex3]t=31[/tex3] , temos [tex3](a,b)=(279,372)[/tex3] Entretanto, [tex3]mdc(279,372)=93[/tex3] , então não é solução.
Segue que os únicos dois números são 84 e 567.
[tex3]\frac{mmc(a,b)}{mdc(a,b)}=108 \rightarrow mmc(a,b)=108mdc(a,b)[/tex3]
[tex3]a+b=651 \rightarrow mdc(a,b)=mdc(a,651-a)=mdc(a,651)[/tex3]
Como [tex3]651=3.7.31[/tex3] , o mdc só pode ser 1, 3, 7, 31, 21, 93, 217 ou 651[/tex3]
[tex3]ab=mmc.mdc=108mdc(a,b)^2=108t^2[/tex3]
Então a e b são raízes de [tex3]x^2-651x+108t^2[/tex3]
[tex3]\Delta=3^27^231^2-4.2^2.3^3t^2=3^2(7^2.31^2-2^4.3t^2)[/tex3]
Que deve ser quadrado perfeito. Em particular, [tex3]7^2.31^2-2^4.3t^2=217^2-48t^2[/tex3] deve ser quadrado perfeito.
Testamos os valores de [tex3]t=mdc(a,b)[/tex3] dentre os possíveis e verificamos que t=21 e t=31 são soluções.
Para [tex3]t=21[/tex3] , temos [tex3](a,b)=(84,567)[/tex3] . De fato, [tex3]mdc(84,567)=21[/tex3] é uma solução.
Para [tex3]t=31[/tex3] , temos [tex3](a,b)=(279,372)[/tex3] Entretanto, [tex3]mdc(279,372)=93[/tex3] , então não é solução.
Segue que os únicos dois números são 84 e 567.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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